ラトルバックの力学

〜片腕を下げた静止状態から〜

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


【緒元】

 ロール軸まわりの慣性モーメント  Ir

 ピッチ軸まわりの慣性モーメント  Ip

 ヨー軸まわりの慣性モーメント   Iy

 質量               m

 

【力および角加速度の定義】

 力および角加速度の方向に関する定義は上図の通り。

 

【初期状態】

 ピッチ角θp、ロール角0で静止状態。

 接地点は図のように重心からロール軸方向にx、ロール軸に垂直な方向にyだけずれている。

 

【近似】

 ピッチ角θpは微小と仮定し、2次以上を無視する意味で近似を行う(sinθp θpcosθp 1)。

 

【運動方程式】

ロール軸まわりの方程式

rα = Ny−fz       ―――――(1)

ピッチ軸まわりの方程式

pβ = Nx−F(z+xθp)  ―――――(2)

ヨー軸まわりの方程式

yγ = fx−Fy       ―――――(3)

重心位置の水平面内ロール軸方向の方程式

m(zβ+yγ) = F     ―――――(4)

重心位置の水平面内ロール軸に垂直な方向の方程式

m(zα−xγ) = f     ―――――(5)

重心位置の鉛直方向の方程式

m(yα+xβ) = mg−N  ―――――(6)

 

【解析】

上記の(1)〜(6)の連立方程式を解くことによりf、FNαβγ、を求めることができるが、それをすることは多少の労力を必要とする。

今関心があるのは、摩擦力成分fおよびFの比率、つまり摩擦力ベクトルの方向である。これを知ることにより、ヨーの角加速度γが摩擦力により生じるかどうかが判別できる。式(3)を見て分かるように以下の関係がある。

f/F = y/x のとき、ヨーの角加速度γ=0、

f/F > y/x のとき、ヨーの角加速度γ>0、

f/F < y/x のとき、ヨーの角加速度γ<0、

そこで、このf/Fを知ることのみを目的として、上記連立方程式を解くこととする。

(4)に(2)、(3)を代入し、βγ、を消去すると、

  式7  ―――――(7)

(5)に(1)、(3)を代入してαγ、を消去すると、

  式8      ―――――(8)

(7)、(8)よりNを消去すると、

  式9 ―――――(9)

よって、f/Fは、

  式10 ―――――(10)

 

式(10)を眺めてもなかなかピンとこないので、具体的な数値を代入してみることにする。

 

m =0.1[kg]

r =0.00001[kg*m*m](ロール軸まわり半径1cm0.1kgの質量が分布しているとみなした値)

p =0.0002[kg*m*m](ラトルバックの縦横寸法比が4〜5程度なのでその約2乗である20をIrに乗じた)

y =0.0003[kg*m*m](やはりラトルバックの形状から、Ip1.5倍程度が妥当と判断)

x =0.02[m]

y =0.005[m]

z =0.01[m]

θp =0.1[rad](約5.7

 

以上の数値を式(10)に代入したところ以下の結果が得られた。

f/F = 2.34 ( y/x=0.25

 

以上により接地点の摩擦力がヨーイングトルクとなりラトルバックが回転を始めることが示された。