4次方程式の解法(因数分解)

ここでは因数分解による4次方程式の解き方について説明します。
4次式を2つの式の積に因数分解する場合、
・(4次式)×(定数式)
・(3次式)×(1次式)
・(2次式)×(2次式)
の3ケースがあります(積の順序は考えないものとします)。
ここでは(4次式)×(定数)は扱いません。
(3次式)×(1次式)も省略します。
つまり、(2次式)×(2次式)の因数分解を扱います。
さて、4次式を(2次式)×(2次式)に因数分解する場合、何か有効な手段はあるでしょうか?
1つの方法として、解の凡その値を求める方法があります。
どういうことかというと、簡単に言えばグラフを描けということです。
ある程度の近似値を求めるわけです。
4次方程式の解は
・異なる4つの実数解
・異なる3つの実数解(1つは重解)
・異なる2つの実数解(1つは3重解)
・異なる2つの実数解(2つの重解)
・1つの実数解(4重解)
・2つの異なる実数解と2つの虚数解
・1つの実数解(重解)と2つの虚数解
・4つの異なる虚数解
・2つの異なる虚数解(2つの重解)
の9ケースがあります(多分これで全て)。
グラフに描いて少なくとも1つの解(凡その値)がわかるのは下2つを除く7つのケース。
実数解を持つケースです。
まずはどのケースに該当するかを知る必要があります。
微分ができればすぐわかるでしょう。
その後、グラフを描いてみましょう。
それで、適当な解を決め、それがどんな値かを考えます。
予想できる値を検算してみましょう。
もし検算した結果が正しければ、その値が解になります。
因みに有理数解が存在する場合は因数定理をつかって(3次式)×(1次式)に分解できます。
但し、場合によっては物凄く時間が掛かります。
解が全て虚数の場合はこの方法は使えません。
そんな場合どうすればいいでしょうね?
筆者は曲がりなりにもプログラマなんで、整数の範囲で因数分解できるプログラムぐらい2,3時間あれば難なく作れますが、そうでない人もいるでしょう。
でもそれくらいのものならフリーウェアとしてありそうですね。
ご丁寧に解まで求めてくれるものもあるかもしれません。
そういうのを探してみてはどうでしょう。(でもそれじゃ解法と言えないな・・・)
 
なんとか見ただけで因数分解できないでしょうか?
1つ例題を使って考えてみましょう。
(例4)
x^4-x^3+4x^2-15x+21=0
まずは因数定理が使えるかどうかを試します。
ですがこの方程式は有理数の範囲ではできません。
それでは(2次式)×(2次式)に分解できるでしょうか?
x^4の係数が1なので、
(x^2+px+q)(x^2+rx+s)
の形に因数分解できるかどうか考えます。
まず、qsの値を考えましょう。
qs=21から考えられる組み合わせは
(q,s)=(1,21),(-1,-21),(3,7),(-3,-7),(7,3),(-7,-3),(21,1),(-21,-1)
の8通り。
現段階ではqsを入れ替えても問題ないので、前半の4通りとしましょう。
次にprですが、
p+r=-1,qr+ps=-15
です。
qsの値によってprの値は変わりますが、連立方程式によって求まります。
q+s+pr=4
となる組み合わせがあればOKです。
(q,s)=(3,7)
としたとき、
p=-3,r=2
となり、
q+s+pr=4
を満たすので例4の解は
(x^2-3x+3)(x^2+2x+7)=0
x=(3±√3i)/2,-1±√6i
となります。
 
でもこんな教科書レベルの問題では物足りないでしょう。
 
特殊な方程式なら簡単に因数分解できる場合があります。
次回は複二次式と相反方程式をします。
 

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