コラム〜角の三等分〜

3次方程式の解法で、3倍角の公式を利用して解く方法を紹介しました。
このとき、解はある角を三等分した値を使用しています。
ところで、ギリシアの三大作図問題の1つに角の三等分線を作図するという問題があります。
この問題はおそらく幾多の数学者達が挑戦したことだと思いますが、現在では定木とコンパスのみでは作図できないことが証明されています。
ところが、折り紙を使えば角の三等分が可能だということを最近知りました。
折り紙にこんな学術的な利用法があるのは驚きです。
どうやって折るかはここでは紹介しません。Google等の検索サイトで「角の三等分 折り紙」とでも入力すれば見つかるのではないでしょうか。
角の三等分が可能になることで、様々な図形の作図が可能になるでしょう。
例えば正多角形の作図。
定木とコンパスのみでは正7角形や正9角形の作図は不可能です。
ところが、角の三等分が可能になると、正7角形、正9角形の作図が可能になります。
その他、正13角形、正19角形等々、今まで作図不可能とされていた多くの正多角形が作図できるようになります。
もっとも、正11角形など、角の三等分が可能でも作図ができない(と思われる)正多角形はあります。
それらの作図法は情報が希少ですので、自分で考えてみるのもいいのではないでしょうか。
角の三等分が可能だと正9角形が作図できるのはわかるけど、なんで正7角形や正13角形も作図できるかわからない人もいるでしょう。
2つ式を書いておきます。
cos(2π/7)=(√7/3)ャos(arccos(1/2√7)/3)-1/6
 
cos(2π/13)=√(26-2√3)/6ャos(arccos(9/2√(78+15√13))/3)-(√13-1)/12
 

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