3次方程式の解法(因数分解)

ここでは因数分解による3次方程式の解き方について説明します。
因数分解による解き方はハッキリ言って高校レベルです。
しかし、高校レベルと言っても、簡単にできる問題もあれば、長時間考えても簡単に解けない問題もあります。
ここで2つの例を挙げてみましょう。
(例1)
x^3-6x^2+11x-6=0
(例2)
x^3-6x-6=0
 
例1は因数定理を使って解きます。
因数定理とは、
f(x)x-aで割り切れるとき
f(a)=0が成り立つ。
といったものです。
 
例1の場合、aが1のときに因数定理が成り立つので
(x-1)(x^2-5x+6)=0
となり、解は
x=1,2,3
となります。
 
しかし、例2は因数定理で解くことはできないわけではないですが、やめたほうがいいと思います。
例2は因数定理で解こうと思ってもそう簡単に求めれるものではありません。
じゃあどうやって解くんだ?と思うかもしれませんが、式を変形すればわかると思います。
例2は
2(x+1)^3-(x+2)^3=0
と変形できます。これは因数分解の公式
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を使えば解けますね。
こんなのすぐに思いつかないよ〜って思うかもしれません。
筆者自身、高校時代にこの方程式に出会っていたら投げ出していたでしょう。
さて、この後因数分解して解こうということになるのですが、かなり面倒です。
途中の計算いちいち書く気にならないんで解だけ書きます。
 
x=cbrt(2)+cbrt(4),cbrt(2)ω+cbrt(4)ω^2,cbrt(2)ω^2+cbrt(4)ω
 
ω=(-1+√3i)/2
 

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