3次方程式の解法(カルダノの解法)

ここではカルダノの解法による3次方程式の解き方について説明します。
カルダノの解法は大学レベルです。
しかし、高校生でも数学得意な人ならわかるでしょう。
ここで先ほどの例2を挙げてみましょう。
(例2)
x^3-6x-6=0
 
この方程式の解は
x=cbrt(2)+cbrt(4),cbrt(2)ω+cbrt(4)ω^2,cbrt(2)ω^2+cbrt(4)ω
 
ω=(-1+√3i)/2
 
でした。
しかし、前ページを訪れた人はあんなややこしい式をいちいち解くのは面倒だ!と思うでしょう。
(どれくらい面倒かはやってみればわかります)
実はカルダノの解法を使うと意外と簡単に解けるのです。
ではカルダノの解法を説明していきます。
 
3次方程式
ax^3+bx^2+cx+d=0
を変数の2乗の係数が0になるように変形します。
(x+a/3b)^3-((b^2-3ac)/3a^2)(x+a/3b)-(-2b^3+9abc-27a^2d)/27a^3=0
そして
x+a/3b=y,(b^2-3ac)-9a^2=p,(-2b^3+9abc-27a^2d)/54a^3=q
と置き換えると
y^3-3py-2q=0
となります。
ここで、
y=u+v
と置き換えて、
u^3+v^3-2q+3(uv-p)(u+v)=0
とし、
u^3+v^3=2q,uv=p
とします。
ここで、解と係数の関係を利用すれば、u^3v^3の値を求めることができます。
最後に
x=u+v+b/3a
から解を求めることができます。
 
 
では、カルダノの公式を利用して例2を解いて見ましょう。
x^3-6x-6=0
まず、変数の2乗の係数がすでに0なので、最初の変換は省きます。
u^3+v^3-6+3(uv-2)(u+v)=0
あとは一気にいきましょう。
x=cbrt(2)+cbrt(4),cbrt(2)ω+cbrt(4)ω^2,cbrt(2)ω^2+cbrt(4)ω
 
ω=(-1+√3i)/2
 
手抜きだなと思うでしょう。勿論手抜きです。
わからない点があればメールください。答えられる範囲で答えます。
 

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