3次方程式の解法(3倍角の公式)

ここでは3倍角の公式による3次方程式の解き方について説明します。
3倍角の公式ってなんだ?という人がいるかもしれないので、簡単に書きます。
cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθです。
さて、まずは新たな例題3を見てください。
(例3)
x^3-3x+1=0
 
これは簡単に因数分解できません。
でも一見カルダノの解法を使えばすぐに解けそうな気がしますよね。
ってことで解いてみましょう。
x=cbrt((-1+√3i)/2)+cbrt((-1-√3i)/2),cbrt((-1+√3i)/2)ω+cbrt((-1-√3i)/2)ω^2,cbrt((-1+√3i)/2)ω^2+cbrt((-1-√3i)/2)ω
立方根の中に虚数があります。
これではどんな値かよくわかりませんね。
じゃあ根号を外せばいいと思うでしょう。
ところが、簡単に外せません。
だったらどうするんだ?
そこで、3倍角の公式を利用するわけです。
では、3倍角の公式を利用する解き方を説明します。
 
まず、前回のカルダノの公式のように
y^3-3py-2q=0
の形にします。
その後、y=2√pcosθと置くと、
 
8p√p(cosθ)^3-6p√pcosθ-2q=0
 
cos3θ=q/p√p
 
従って、解は
x=2√pcos((arccos(q/p√p)/3)-b/3a,2√pcos((2π±arccos(q/p√p)/3)-b/3a (0<arccos(q/p√p)<π)
となります。
 
 
では、例3を解いてみましょう。
x=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9)
以上です。
早すぎるだろ!と思うかもしれませんが、書かなくてもわかるでしょう。
では、前回、前々回で使った例2を3倍角の公式を使って解いてみましょう。
x=2√2cos(arccos(3/2√2)/3),2√2cos(2π±arccos(3/2√2)/3)
逆三角関数の値が変ですね。
実は、虚数解を持つ方程式を解く場合、3倍角の公式を利用する解き方は不適切です。
理由は上記のように逆三角関数の値がおかしくなるから。
逆に、解がすべて実数解のときはカルダノの解法では虚数の立方根が出てきてしまいます。
つまり、解の判別をして解き方を変えろって事なんですよ。
勿論、因数分解で簡単に解けるならそんなことしなくてもいいです。
ならどうやって判別するんだ?ってことになるでしょう。
判別式というものがあります。
p^3<q^2:カルダノ
p^3>q^2:3倍角
意外と簡単ですね。
この式は今までの解法がわかれば理解できるでしょう。
 

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