算数教育のための数に関する用語(少しずつ増えていきます)

基数集合数とも言う、集合論では濃度のこと)

基数とは、ある集合の属性(赤い、面積)の一つである数のこと、一般に「集合の大きさ」であるが、これは曖昧な表現。ここで「一対一対応」(全単射)を用いて、一対一対応で変わらぬ集合の大きさ。といえば少しはわかりやすい。この数を分離量という。

一対一対応は
①要素(集合に含まれる一つひとつのもの)の属性に関係ない
②要素の配置に関係がない(縦に並べても、横でも、ランダムでもよい)
③他の集合の属性からの分離(鉛筆の集合、リンゴの集合でも成立する)

量(とりあえず、物の多さ)ここで、二つの量を表す用語

物⇒個物(りんご、鉛筆)⇒離散量(分離量)自然数
物⇒連続体(水、土地)⇒連続量実数

数詞(数の名前)、英語やフランス語は、12進法や20進法のなごりがあってわかりずらい。日本では完全に十進法ののとっている。そん他次のようなものもある。
例、人の部分で呼ぶ。2が薬指、9は右耳、13が口
例、寿司屋では、2がりゃん、5がめのじ

序数(順序数)、集合で、系列下された要素の位置を表す。簡単に順番でよい。ここで日本語では第3、5番目。英語はFirst、Second、日本語は便利である。
別に、数を使わなくてもよい
例、昔の日本でも、甲乙丙丁・・・
例、天文学では、一つの星座のなかの順番は、αβγδ・・・

そうすると、同じ自然数が基数と序数に使われる。(後に述べるが、生活世界では、曖昧に使われている)

ゼロは空集合φ={ }の基数となる。

注、中学校の数学では、自然数は正の整数とされ、0は含めないが、ここでいう基数は0が含まれる。序数は普通、1,2,3・・・と0は含めない。数学の理論では、序数に含める場合がある。
ゼロの使用は
①例えば、預金通帳のように残高ゼロ。記帳用
②位取り記数法の空位のゼロ(前ページで解説したとおりインド人の発見)
③計算できる数として
注、ブラマグプタの628年の書物には、ゼロを加えても結果はもとのまま。ゼロを掛けると結果はゼロ等の記述がある(大矢他「数字と数学記号の歴史より)

加減法の構造

加法
合併型
A同種のものの合併
例、「リンゴ4個とリンゴ3個を一つの袋に入れると、袋の中のリンゴはいくつになりますか
B異種のものの合併・和
例、男の子4人と女の子が3人います。子どもは何人いますか。
数学的にいうと、Aは同一の全体集合の中の二つの部分集合の合併、Bは二つの全体集合の和集合をつくることになる。

添加型
A基数の増加
例、子どもが4人遊んでいました。そこに子どもが3人やってきました。こどもは何人になりましたか。
時間・空間的に①の型と違う。被加数4と加数3は違い。交換法則は成立しない
B序数の加法
例、私は前から四番目です。わたしより三番あとの人は、前から何番目であすか
被加数4は位置を表し、加数3は移動量を表す。
ABは、考え方によりこのように添付型にまとめられるのは。序数の4は、集合を数えるとき最後の数(これを切片という)、で序数3も同じ。切片は集合の基数を表す。したがって同じものとも考えられる。

減法

求残型
A、同種、残りを求める。除去
例、リンゴが7個あります、3個たべたら残りは何個
B、求補。異種
例、子どもが7人、男子が3人、女子は何人
減少型
A基数の減少
例、子どもが7人遊んでいました。3人帰りました。何人になったか。
B、序数の減少
例、私は7番目、わたしより三番手前にいる人は、前から何番目
注、先の切片の考え方では、同じ種類になる
求差
A基数の差法
例、男の子が7人います、女の子が3人います。男の子は女の子より何人多いですか
B序数の差法
例、わたしは7番目、あの人は3番目にいます。わたしはあの人より何番あとにいるか

指導としては、加法、減法もこの①AB②ABとするのが、自然でわかりやすいと思われる。しかし、後に述べるように、最近の文章題の認知心理学的な研究は、より精密な分析をしている。

外延量・・・長さ、重さ、時間、面積等。加法性をもつ
内包量・・・一つの物体の単位あたりの量。加法性はない。次の二種類に分類される
密度型・・・単位の分母が空間的な大きさをもつ。人口密度、電気抵抗、圧力。(密度)×(空間量)=分布量となる
時間型・・・単位の分母が時間。速度、毎分5リットルの水つまり、5?/分。(速度)×(時間)=変化量となる

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