□技術メモ - 数学

※管理人の個人的な技術メモです。
このページの内容は正確であることを保証しておりません。
このページでは主にCADや図形処理等に関連する数学について記述します。

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○公理  定義  定理

公理とは１つの形式体系における議論の前提となるもの。正しいことが自明であることが多い。
定義とは議論におけるルールとして定めたもの。証明の必要なく真である。
公理や定義から求めるのが定理。

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○円周率を取得する

ここでは数学ライブラリ等を使用できない場合等に自前でPIを算出する方法について述べています。
円周率を計算する数学的手法も興味深いですが、ここでは扱わないので専門のサイトを御参照ください。
  
PI = 4 * atan2(1, 1);
PI = 4 * atan(1);
PI = atan2(-1, 0);
PI = acos(-1);

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○ベクトルの表記

ベクトル関連の数学記号は本来は正式なものを使いたいのですが、
このページでは以下の記述で代用します。

・座標、点

座標(X1, Y1, Z1)、点A(X1, Y1, Z1)
座標(X2, Y2, Z2)、点B(X2, Y2, Z2)

・ベクトル

原点から点Aまでのベクトルを以下とする。
vecP = vec(X1, Y1, Z1)

原点から点Bまでのベクトルを以下とする。
vecQ = vec(X2, Y2, Z2)

・２点間のベクトル

点Aから点Bのベクトルを以下とする。

  vecR
= vec(A→B)
= vecQ - vecP
= vec(X2-X1, Y2-Y1, Z2-Z1)

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○三角形の面積

原点、点P1, 点P2 の３点で構成される三角形について、
vecA = vec(O→P1), vecB = vec(0→P2) とする。
vecA, vecB のなす角をθとするとき、三角形の面積は以下の通り。

面積 = 1/2 * |vecA| * |vecB| * sin(θ)

※sin(θ)が負になる場合は面積は負数になることに注意。

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○sin関数について

sin(x)は、xが0に近づく時にxに近づく。(xはラジアン)
x≒0の時、sin(x)≒tan(x)≒x

証明:
半径１の円において、
円周の長さが２πの時に、
ラジアンの大きさが２πになるようにラジアンは定義されているので、
x→0の時、
sin(x) ≒ 円弧の長さ/1 = x となる。

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○多角形の面積

上記の三角形の面積の公式から導出できる。
sin(θ)が負の場合は面積も負数になるのがミソ。

多角形の頂点の座標をPiとする。
Oは原点とする。
Piはi=1からnまでで、反時計周りとする。
PiからPi+1の角度をθiとする。
このとき多角形の面積は以下の通り。

多角形の面積 S = 1/2 * Σ(i=1→n) ( |vec(O→Pi)| * |vec(O→Pi+1)| * sin(θi) )

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○ベクトルと行列について

・スカラーが大きさのみを持つのに対して、
  ベクトルは大きさだけではなく、方向も持つ量のことを言う。
  これを抽象化して、要素を縦、または横に並べたものもベクトルと言う。

・数や数式を行と列に沿って配したものを、行列という。
  複数の縦ベクトルを横に並べたもの、もしくは
  複数の横ベクトルを縦に並べたものも行列という。

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○行列と行列式の表記

行列と行列式の記号は本来は正式なものを使いたいのですが、
このページでは以下の記述で代用します。

・行列(matrix)

mat|A  B|
   |C  D|

・行列式(determinant)

det|A  B|
   |C  D|

※あくまでも本来の数学記号は、行列は( ) または[ ]、
行列式は | | で囲まれたものであることに注意して下さい。

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〇内積について

vecA と vecB が以下のとき、
vecA = (a1, a2)
vecB = (b1, b2)
vecA と vecB の内積は

vecA・vecB
= a1*b1 + a2*b2
= |vecA|*|vecB|*cos(θ)

内積の結果はスカラーになることに注意。

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〇外積について

vecP と vecQ が以下のとき、
vecP = (Ax, Ay, Az)
vecQ = (Bx, By, Bz)
vecP と vecQ の外積は

vecP×vecQ

     |Ex  Ey  Ez|
= det|Ax  Ay  Az|
     |Bx  By  Bz|

(Eは単位行列, || で挟まれているのは行列式(下記参照))

= (Ay*Bz - Az*By, Az*Bx - Ax*Bz, Ax*By - Ay*Bx)

外積の結果はベクトルになることに注意。

また、外積のベクトルは２つのベクトルが作る面に垂直となり、
方向は右ネジの方向になる。
このときのベクトルの大きさは以下の通り。

  外積のベクトルの大きさ |vecP×vecQ|
= |vecP|*|vecQ|*sin(θ)

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〇外積について  その２

vecP と vecQ が以下のとき、
vecP = (Ax, Ay)
vecQ = (Bx, By)
vecP と vecQ の外積は

  vecP×vecQ
= |vecP|*|vecQ|*sin(θ)

= det|Ax Ay|
     |Bx By|

= Ax*By - Ay*Bx

平面上の場合は外積の結果はスカラーになる。

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○行列式について

vecP = vec(Ax, Ay)とする。
vecQ = vec(Bx, By)とする。

このとき、行列式 det|Ax  Ay|
                    |Bx  By|

(det は行列式の記号)

= Ax*By - Ay*Bx

また、平面上においては

  Ax*By - Ay*Bx
= |vecP|*|vecQ|*sin(θ)

が成り立つので、行列式は２つのベクトルのなす角の正負判定に使えることに気が付く。
つまり、上記の行列式が正の場合は、vecPとvecQのなす角は正（つまり左回り）、
負の場合は、vecPとvecQのなす角は負（つまり右回り）となる。

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〇２つの直線の直交判定、平行判定

・内積の結果は cos(θ)を含むので、
内積 = 0 なら２つの直線は直交と判定できる。

・平面上において、外積の大きさは sin(θ)を含むので、
外積 = 0、つまり 行列式の値 = 0 なら２つの直線は平行と判定できる。

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※以下、行列について議論を続けます。

http://3rd.geocities.jp/tnoguchislg/math/Math2.txt に続く。