□技術メモ - 物理 音楽 波動

※管理人の個人的な技術メモです。
このページの内容は正確であることを保証しておりません。
このページでは物理学の波動について記述します。
音楽との関わりについても少し記述します。

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〇１オクターブとは

・１オクターブ上がると周波数は２倍になる。
  これを等分割して12の半音に割り振られている（ド レ レ# ミ ミ# ファ ソ ソ# ラ ラ# シ シ# ド)

・波長を2/3にした音と、元の音とを重ねると、心地よい響きに感じる。
  これは協和音として古くから知られていたらしい。

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〇セントとは

・音程を測定するための対数単位。
  １オクターブを1200に等分割したものが１セント。
  したがって半音は100セントに相当する。
  １オクターブ = 1200セント になる。

・２＾（1/1200）= 1.0005777895 なので、
  １セント^(1200) = 1.0005777895^(1200) = ２(１オクターブに相当)
  となる。

・１セントの違いは人間の耳で識別できないが、
  周波数がわずかに違う音が重なると「うなり」が発生するので識別することができる。

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〇振動数 周期 波長 位相

・振動数とは、１秒当たりの振動の回数。単位はHz(ヘルツ) = 回数／秒

・周期とは、１回の振動に対する時間。単位sec(秒)。

・波長は、１回の振動の長さ。単位はm(メートル)。

・位相は、サイン関数等を考えると分かりやすい。１回の振動に対して、位相は２πになる。
  位相が２πになると、振動の状態が元に戻ります。

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〇振動数  周波数  回転数

・振動数、周波数、回転数はいずれも単位時間当たりの振動の回数のこと。

・物理学では振動数、電気工学、音響工学では周波数、モーター等の等速円運動では回転数という。

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〇うなり

波の山と山、谷と谷が重なった場合、音が大きく聞こえるが、
波の山と谷、谷と山が重なった場合、音が小さく聞こえる。
振動数がわずかに違う２つの音が重なって、長い周期で音が強弱を繰り返して聞こえる現象を「うなり」という。

・うなりの周期の計算１
波Ａの周期 a=11, 波Ｂの周期 b=13とする。
周期の差 c=2。

位相のずれが元に戻るまでの波Ａが振動する回数を考える。
長い方の波に対して2秒ずつ位相がずれるのだから、
13/2 = 6.5回。
波Ａが6.5回振動するのだから、うなりの周期は
6.5 * 11 = 71.5

もしくは、うなりの周期は
  b / c * a
= 143 / 2 = 71.5

・うなりの周期の計算２
波Ａの周期 a=11, 波Ｂの周期 b=13とする。
周期の差 c=2。
位相が元に戻るまでの時間はうなりの周期と同じ。
その間に波Ａが振動する回数を n とすると、
うなりの周期 = 11 * n = 13 * (n-1) の関係があるからこれを解いて、
2n = 13
n=6.5
うなりの周期 = 11 * n = 71.5

・振動数で計算する場合
波１の振動数 A=17, 波２の振動数 B=22とする。
周期はそれぞれ 1/A, 1/B, 周期の差は以下の通り。
1/A - 1/B = (B-A) / A*B
うなりの周期は
  長い周期 / 周期の差 * 短い周期
= (1/A) / ( (B-A) / A*B ) * (1/B)
= (1 / AB) * (AB) / (B-A)
= 1 / (B-A)
振動数は周期の逆数だから
  うなりの振動数
= B-A = 5 となる。

・教科書などで見かける、うなりの振動数 = 振動数の差
  というのは上記より導出される。

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〇波の性質

〇波動関数

〇波と粒子

〇フーリエ変換
・デジタル波形などの周期的な波として捕らえられる現象はすべて正弦波（サイン波）の重ね合わせで合成することができる。
・JPEGなどの画像圧縮技術は離散フーリエ変換により実現している。

○ラプラス変換
・フーリエ変換の自然な拡張でもある。
・ラプラス変換は、伝達関数（システム関数）を表現することができ、これにより微分方程式を高速で解くことが可能になるになるため、
  （ドローンの制御、ロボットの制御、厳密な温度管理などで）高度な自動制御を行う場合は必要となる。
・ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としている。
  正直な話、数学的にはかなり歯ごたえがある分野なので要注意だ。