＜漸化式と特性方程式について（数学教育の観点から）＞
＜本論の目的＞
　高校の教科書、受験参考書、数学のこの方面の大学程度の教科書、
さらに専門書での漸化式の取扱いについて検討してみる。専門の数学
（差分方程式が妥当であろう）から観れば、漸化式は関数方程式に含
まれる。特に、解析学の立場、特に微分方程式論の立場に立てば、こと
線形なるものについては、数学的構造は微分方程式や積分方程式とまったく
同じである。その他の数学では少し事情が異なるように観える。
受験数学では、特性方程式なるものが好んで用いられいるが、これは本来の
数学や物理数学での意味と違うように観える。
以下このことについて、議論してみる。
　ところで、漸化式（差分方程式）と微分方程式あるいはもっと広く線形な関数方程式
（差分微分方程式、微分差分方程式、編微分方程式など）
な関する数学的構造や名前は共通である。

大学の微分方程式の復習
２階の微分方程式の場合の特性方程式、特殊解、一般解、基本解、同次方程式、
非同次方程式、y ”+ay’ +by = Q(x)についての解説である
　
●例えば、次のような記述がある。

ここでの

は誤りである。
ここでのαは数列の平行移動である。あるいはこの数列の
均衡点（不動点）である。
また、関数方程式観れば。αは特殊解でもある。
詳しくは以下のサイトを参照してください。
　　　
    漸化式の特殊解と一般解について

　　ある漸化式の特殊解と一般解を用いた解き方


それに対して次の記述は妥当である。

＜隣接３項間漸化式；離散型の２階の差分方程式とも呼ばれる＞
特性方程式
　漸化式　ａ_n+2＝ｂａ_n+1＋ｃａ_n　に対して、ｘ²＝ｂｘ＋ｃ を特性方程式という。
解説
　もとの漸化式を
　　ａ_n+2−αａ_n+1＝β（ａ_n+1−αａ_n）
　の形にすることを考えます。カッコをはずして、
　　ａ_n+2＝（α＋β）ａ_n+1−αβａ_n
　係数を比較して、
　　ｂ＝α＋β、　ｃ＝−αβ
　よって、２次方程式の解と係数の関係より、α、βは２次方程式
　　ｘ²−ｂｘ−ｃ＝０
　の解となる。逆に、特性方程式の解をα、βとすると、もとの漸化式は
　　ａ_n+2−αａ_n+1＝β（ａ_n+1−αａ_n）
　　ａ_n+2−βａ_n+1＝α（ａ_n+1−βａ_n）
　と書ける。
　初項、第２項をａ₁、ａ₂ とすると、
　　ａ_n+1−αａ_n＝β^n-1（ａ₂−αａ₁）
　　ａ_n+1−βａ_n＝α^n-1（ａ₂−βａ₁）

　（α≠βのとき）
　両辺の差を取って、
　　（β−α）ａ_n＝β^n-1（ａ₂−αａ₁）−α^n-1（ａ₂−βａ₁）
　より、
　　ａ_n＝｛β^n-1（ａ₂−αａ₁）−α^n-1（ａ₂−βａ₁）｝/（β−α）
　（α＝βのとき）
　　ａ_n+1−αａ_n＝α^n-1（ａ₂−αａ₁）
　両辺α^n-1で割って、
　　ａ_n+1/α^n-1−ａ_n/α^n-2＝（ａ₂−αａ₁）
　これは、数列 ａ_n/α^n-2 が等差数列であることを表している。
　初項は　ａ1/α^-1、公差　（ａ₂−αａ₁）であるので、
　　ａ_n/α^n-2＝ａ1/α^-1＋（ｎ−１）（ａ₂−αａ₁）
　両辺 α^n-2 を掛けて、
　　ａ_n＝α^n-1ａ1＋（ｎ−１）（α^n-2ａ₂−α^n-1ａ₁）
　　ａ_n＝（ｎ−１）α^n-2ａ₂−（ｎ−２）α^n-1ａ₁
　


<２階の漸化式の例が有名なフィボナッチの数列（受験数学でも）である＞ ⇒レオナルド・フィボナッチ(イタリアのピサの人）
　
この漸化式（フィボナッチの漸化式）の特性方程式による本格的な解法は次のサイトをみてくだささい。

●微分方程式論から観た漸化式の解法について　
●　　漸化式の解法サイト

なお、入試問題を解くに当たって、良くまとめられいる次のサイトにある事柄が基本である。
●　基本的な漸化式の解法

漸化式の研究（発展編その他の数学への応用
(積分への応用）：大学入試の数学等から）



●連立漸化式の行列による解法
　連立漸化式の行列による解法(PDF)

●３項間漸化式（特性方程式が虚数解のとき）（PDF）

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