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整数問題(1) １． 整数問題 整数問題の目次カードは、くりかえし記載すると下のとおりですね。
そこで、この順番どおりにみていきましょう。 ① 整数解問題 またまたここで、整数解問題の解法テクニックを再確認しておきましょう。
（ⅰ）の典型的問題は３つあります。この３つさえ知っていれば、入試で他の受験生よりも劣 ることはないでしょう。 紹介します。 絶対、絶対この３つは脳味噌にインプットしてくだ さいね。     これらは、すべて「積形に持ち込んで候補者をしぼれ」なんですね。 ここで、なぜ積形にすると候補者がしぼれるのか、これが理解できないと先には行けま せん。簡単なことなんですよ。 たとえば、「ｘ＋ｙ＝２を満たす整数ｘ, ｙをもとめよ」なんて言われても、そんなの無数の 組があるから答えなんて確定しませんよね （ｘ＝1,000,000 ｙ＝－999,998でもいいんで す）。 なんでもOKだから、問題になりません。 でも、「ｘｙ＝２を満たす整数ｘ, ｙをもとめよ」って言われたら、これは絞り込めますよね。 （ｘ, ｙ）＝（１,２）（２,１）（-１,-２）（-２,-１）の４組しかありませんよね。 ここが重要なんです。整数は積形に持ち込むと、候補者は極端にしぼれるんです。積形 とは、整式でいえば因数分解ということですよね。 とにかく、 （整数）×（整数）＝（整数）、ここがポイントなんです。 上の３つのパターンはすべてこの解法テクニックでOKです。 ３パターンの解答は、ここで す。 クリックする前に考えてね。  さあ、この３パターンのインプットで入試問題は解けるんでしょうか？ 2009年度入試問題を見てみましょうか。 名古屋大学（理系・前期）４B番、お茶の水女子大学（理学部・前期）８番、一 橋大学（前期） １番は完璧にこのパターンになりますね。 っていうか、整数解問題は、極論すればこのパ ターンだけでも十分戦えると思いますよ。 ただ、一橋大学の問題については、数値がデカイぶん、さらに絞込みをかけないと大変で す。ここが、やはり難関大学ですね。 名古屋大学の問題は、（２）が整式の大小比較という他のテーマがからんでいる複合問題 ですね。ちなみに、お茶の水女子大学８番の問題は名古屋大学の問題とウリ２つ。しかも、 この問題は（パターン）そのものです。見てみて！ 
これの解答については、ここをクリックしてね。 以上見てきたとおり、整数解問題の中でも「積形に持ち込む」と いうパターンはとっても重要 なんです。 このパターンの本質部分（ひ らめきツール（４））は、 整数は積形に持ち込むと極端に候補者が絞 れるという性質なんですね。単なる暗記ではなく、この本質をおさえておいてくださいね。 最後に上記の本質をふまえたうえで、2010年大阪大学（理系・前期）の問題を解いてみましょ う。  これの解答については、ここをクリックしてね。 積形（因数分解）に持ち込めるときはいいんですが、それが不可能なときはどうすればいいん でしょうか？それがつぎの（ⅱ）の解法テクニックです。 まずは、問題を見てみましょうか。  この問題は前述した（パターン３）と見た目は同じですよね。そこで、「１文字中心降べき順で ～」と一杯やりながら鼻歌まじり 
と思ったら・・・・・なんと！因数分解ができないじゃないですか!! 解法テクニック(ⅱ）は、こんなときに強力な武器となってくれます。 でも、これって別に目新しいことではなくて、ボクたちは2次方程式を解くとき「１．因数分解、 それがダメなら ２．解の公式」という手順は高1の初っ端でやっていますよね～。ここでも、 その手順に従うだけなんです。 NO.5の解答は、ここです。 クリックする前に考えてね。 さあ、2009年度の入試問題を見てみましょうか。 旭川医科大学（後期）１番です。  この問題は厳密には、「積形（因数分解）が無理な問題」というより「積形（因数分解）にして はいけない問題」なんです。なぜって、小問（１）があるからです。 小問（１）が、明らかに解の公式を使う以上、出題者の意図はこれを踏まえて解いてくれって いうことでしょう（ひらめき ツール（３））。 だから、勝手に暴走して因数分解して解くのはダメ でしょ う。解答では、別解として因数分解の方法も載せておきますけど・・・ NO.6の解答は、ここです。 またまた、クリックする前に考えてね。 前述の（ⅰ）（ⅱ）で整数解問題はかなりイケテマス。これぐらいでも、このテーマに関しては 偏差値65はいっているでしょう。ここまできたら、「一杯～」どころか「ぐでんぐでん～」でも いいでしょう。  ただ、たまに出題される（ⅲ）の解法テクニックはおさえておきたいですね。 不等式の条件式が付加された整数解問題なんです。 さっそく問題を見てみましょうか。  条件式が等式の場合は「文字消去の方針で！」っていうのは、常套手段ですよね。 でも、この問題は不等式なんです。 どうするの？ 実は、不等式であっても文字消去ができる!! っていうのがこの問題のポイントなんです。そこ が、山場でしてあとは（パターン１）となります。 NO.7の解答は、ここです。 やっぱりクリックする前に考えてね。 さあ、最近の入試問題を見てみましょう。 2006年度東京大学文系（前期）３番です。  まさしく、不等式の条件式が付加された整数解問題ですね。ここでも、「文字消去」がポイント となりますよ。 しっかり考えてから、ここをクリックしてください。 以上で、整数解問題は終了です。  大切なのは、「目次カード」を作っ て全体を鳥瞰するようにし、それぞれのテーマについて 「解法テクニック カ－ド」を作っていつでも見ることが できるようにしておくことなんですね。 そして、「ひらめきツール（４）」の「各分野の底流にある本質をつかめ」も大切ですよ。 「本質」＝「共通の思想」と言い直してもいいかもしれませんが、問題なんてすべてのパターン を暗記することなんか精神的にも体力的にも無理ですよね。 だから、見た目がちがったり、 飾り付けの多い入試問題でも、その分野の本質にさかのぼって考えるようにしてほしいんです。 また、そのような姿勢は大学側の意向にも合致するはずです。 入試の現場では、はじめて見るような問題が時々出題されますが、それは大学側が暗記一辺 倒の生徒をふるいにかけたいからなんでしょうね。 そりゃ、大学の先生は表層的な薄っぺらい知識しか持たない学生よりも、事の本質を理解して いる生徒を入学させたがってますよ。だって、そういう生徒のほうが大学で伸びるから。 そういった意味で、日頃から「暗記」よりも「本質」を大切にする勉強のほうが合格には近づ くんではないでしょうか。相思相愛ということで・・・・・。  なんて、講釈ばっかりしてたらみなさんに嫌われちゃいますよね。 楽しく、おかしく、でも脳味噌を使う解説をしていきますのでヨロシクね。  次 へ→ |
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