| 正方形を小さな正方形に分割する問題を考えて見ましょう。 |
★歴史
1907年 デュードニーが「一つの正方形をすべて異なる正方形に分割する」
と言う問題を提起しました。（本人は不可能と思っていたようです）
完全正方分割正方形（＝完全正方形）
1925年 モロンが32×33の長方形をすべて異なる正方形に分割する例を発見。
完全正方分割長方形（＝完全長方形）
1936〜38年 ケンブリッジ大の学生。位数69の完全正方分割正方形を発見。
1951年 ウィルコックス、位数24の完全正方分割正方形を発見。
現在 完全正方分割正方形の最も位数の小さいのは21と確定。
コンピューターにより位数26までのものが求められています。
|
位数
内部の小正方形の数
図１では、位数13になります。 |
★表記法（ボーカンプの表記法）
上辺が同じ高さにある小正方を括弧でくくり上から順に示す方法です。
図１を例にとると
(12,11)(1,3,7)(11,2)(5)(2,5)(4,1)(3)
となります。 |
★完全正方分割正方形（＝完全正方形）
すべて異なる正方形から構成されるものです。
図２が最も位数の小さい（位数21）の完全正方分割正方形です |
★単純完全正方分割正方形（＝単純完全正方形）
すべて異なる正方形から構成され、しかも、内部に「完全正方分割長方形」を含まないもの。
図２は単純正方分割正方形の例でもあります。
ウィルコックスの発見した位数24のものは、「完全正方分割正方形」ではありましたが、「単純」ではありませんでした。
（81,51,43）（8,35）（30,29）（2,33）（31）（39,14,20,38）（9,5）（4,1）（3,18）（16）（64）（56）（55）
「単純」でないことは、自分で確かめてください。赤字の部分が「完全正方分割長方形」になっています。 |
★単純正方分割正方形（＝単純正方形）
同一サイズの正方形が存在しても良いが、その正方形が二つ並んだ長方形が
存在しないもの。
図１がその例です。辺長1、2、3、5、11の正方形は２個ずつ存在しますが、並んで長方形にはなっていません。
また、同じサイズの正方形が接触しないのを非接触（no-touch）、一部接触するのを部分接触（nowhere-neat）、と言います。
|
★Mrs. Perkins' Quilt(パーキンス夫人のキルト）
同一サイズの正方形が存在しても良く、その正方形が二つ並んだ長方形が存在してもよい。ただし、すべての小正方形の辺長が1以外の公約数を持たない。
次の図は例です。１が四つでできる正方形をまとめてしまうと、すべての小正方形が辺長２となり２と言う公約数を持ってしまいます。
|
★参考資料
「数理パズル」 池野信一・高木茂男・土橋創作・中村義作著 中公新書
数楽者CraneさんのHP http://www.ccnet.ne.jp/~crane/
の数楽家の顔 長方形の分割
|
|
完全正方分割正方形に関するデータ
完全正方分割長方形に関するデータ
単純正方分割正方形の例 32×32
Mrs. Perkins' Quiltに関するデータ
