今回はまず問題からです。
（問題１）下のルールですべての自然数が重複無く発生できる事を証明して見てください。
１から初めて
(１)もしその数字が偶数だったら２倍及び+1の２つの数字を発生する。
(２)もしその数字が奇数だったら２倍した数字を発生する。
（解答）もしこのルールで発生できない自然数が存在するとすると、その最も小さいものが存在する事になります。それをｓとしましょう。
ここで、ｓが奇数ならｓ-1、偶数ならｓ/2となる数字を考えると、その数字から上のルールに従ってｓが発生できますね。つまりｓ-1またはｓ/2もこのルールで発生できないことでないとおかしいですね。そうするとｓが最も小さいと仮定した事に反するわけです。
つまりそのようなｓは存在しない、結局すべての自然数が発生できる事になります。
また、奇数ｎはｎ-1から偶数ｎはｎ/2から一意的に発生するので重複は有りません。
こんなルールですべての自然数が重複無く発生できるって面白いですね。 |
（問題２）では、次はｒ回の操作で発生できる数字の個数を考えて見てください。
（解答）答は下の表のようになります。そう、またもフィボナッチ数列です。
偶数の数も奇数の数（最初の２項を除く）もフィボナッチ数列になります。 |
| 操作回数 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 全ての数 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
| 偶数の数 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
| 奇数の数 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
そう言えば、ここまでフィボナッチ数列の説明を３回にわたって書きましたが、おおもとになったフィボナッチのウサギの話を書いていませんでしたね。^_^;
フィボナッチのウサギの話は次のようなものです。
生まれたての１つがいのウサギがいるとします。ウサギは１ヶ月で大人になり２ヶ月目からは毎月１つがいずつウサギを生みます。この時毎月のウサギのつがい数がフィボナッチの数列になるというものです。（もちろんウサギは不死身です！(^_-)）
で、さっき書いた図で偶数を親ウサギ、奇数を子ウサギと読みかえると、そうするとフィボナッチのウサギのお話と同じになります。縦に見たのがその月のウサギのつがい数になります。
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