新数学スタンダード演習




§1. 数と式

aとbの「余り」が等しいことをa≡bで表す。
余りというからには、aとbを何らかの整数で割っていなければならない。mでaとbを割ったということを(mod m)で表す。
以上のことをあわせて、aとbをmで割ったときの余りが等しいことをa≡b (mod m)で表す。
a≡b (mod m)はa-bがcで割り切れることと考えても良い。
a≡b (mod m)はa-b=mq⇔a=mq+bとも表せる。

同値関係
 反射律 a≡a (mod m)
 対称律 a≡b (mod m)ならばb≡a (mod m)
 推移律 a≡b (mod m),b≡c (mod m)ならばa≡c (mod m)

交換法則・結合法則・分配法則
任意のa,b,cについて、次の式が成り立つ。
 加法の交換法則 a+b≡b+a (mod m)
 加法の結合法則 a+(b+c)≡(a+b)+c (mod m)
 乗法の交換法則 ab≡ba (mod m)
 乗法の結合法則 a(bc)≡(ab)c (mod m)
 分配法則 a(b+c)≡ab+ac (mod m)

加法・減法・乗法
a≡b (mod m),c≡d (mod m)について、次の式が成り立つ。
 加法 a+c≡b+d (mod m)
 減法 a-c≡b-d (mod m)
 乗法 ac≡bd (mod m)

加法・減法・乗法・べき乗
a≡b (mod m)とnについて、次の式が成り立つ。
 加法 a+n≡b+n (mod m)
 減法 a-n≡b-n (mod m)
 乗法 na≡nb (mod m)
 べき乗 an≡bn (mod m) (このときnは自然数)
 べき乗 na≡nb (mod m+1)
(na≡nb (mod m)とはならないことに注意(n≡/1)。)

除法 a≡b (mod m)でnならば
a/n≡b/n (mod m)

ウィルソンの定理
正整数nが素数のとき、そのときに限って、
 (n-1)!≡-1(mod m)

一次合同方程式
ax≡b (mod m)
一次合同方程式ax≡b (mod m)に解がある条件
 aとmの最大公約数でbを割り切れるとき、一次合同方程式ax≡b (mod m)には解がある。
 aとmの最大公約数でbを割り切れないとき、一次合同方程式ax≡b (mod m)には解がない。

(a,m)=dとおく、
 d|bならば一次合同方程式ax≡b (mod m)には解がある。
 d|bならば一次合同方程式ax≡b (mod m)には解がない。

フェルマーの小定理
pを奇素数とする。
a≡/0 (mod m)つまり(a,m)=1ならば、
 ap-1≡1 (mod m)

中国剰余定理
連立合同方程式
x≡a (mod m1),x≡b (mod m2),x≡c (mod m3)は、(m1,m2)=(m1,m3)=(m2,m3)

ディオファントス方程式


1・1

α2+1=βα
第2式


1・1

√xを含む式
 1.「√x=」の形に変形する。
 2.両辺を平方し、「x=」の形にする。

与式
2(α+(1/α))=√5-1
第1等式

5=

1・2
1・3
1・4
1・5
1・6
1・7
1・8
1・9
1・10
1・11
1・12
1・13
1・14
1・15
1・16
1・17
1・18
1・19
1・20
1・21
1・22
1・23
1・24

3+5
3+3+3
5+5
(5+3)+3
3+(3+3+3)
5+5+3
1・25
1・26
§2. 方程式と不等式
2・1
2・2
2・3
2・4
2・5
2・6
2・7
2・8
2・9
2・10
2・11
2・12
2・13
2・14
2・15
2・16
2・17
2・18
2・19
2・20
2・21
2・22
2・23
2・24
2・25
§3. 関数
3・1
3・2
3・3
3・4
3・5
3・6
3・7
3・8
3・9

与式をzとおく。
zをxとyでそれぞれ偏微分すると、
zx=2x+y+1=0,zy=2y+x-1=0

3・10
3・11
3・12
3・13
3・14
3・15
3・16
3・17
3・18
3・19
§4. 数列

S=[{a1+a1+d(n-1)}/2]×n=[{2a1+d(n-1)}/2]×n=na1+d(n-1)n/2

□□□□□
□□□□
□□□
□□■■
■■■
■■■■
■■■■■

■■■■■
■■■■■
■■■■■

k=n(n+1)/2

□□□□□
□□□□
□□□
□□■■
■■■
■■■■
■■■■■

4・1
4・2
4・3
4・4
4・5
4・6
4・7
4・8
4・9
4・10
4・11
4・12
4・13
4・14
4・15
4・16
4・17
4・18
4・19
4・20
4・21
§5. 個数の処理

個数のみを考える場合は[ ]nで表す。
個数と区別を考える場合は{ }nで表す。
個数と区別と順序の全てを考える場合は( )nで表す。

括弧の右下のnは個数を表す。
{ }や( )の要素がAであることを{A}や(A)などのように表す。
例えば、(A,B)≠(B,A)だが、{A,B}={B,A}となる。

次の等式が成り立つ。
 (φ)0={φ}0
 (A)1={A}1

コイン・ジャンケン・サイコロ・数字は、次のように表せる。
 コイン={表,裏}2={オ,ウ}2
 ジャンケン={グー,チョキ,パー}3={グ,チ,パ}3
 サイコロ={1,2,3,4,5,6}6
 数字={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}10

n!やnPrnCrの公式を上の表現で表すと、次のようになる。
 { }n→( )n
 n!通り

 { }n→( )r{ }n-r
 nPr通り

 { }n→{ }r{ }n-r
 nCr通り

  { }n→( )r{ }n-rは、{ }n→{ }r{ }n-r→( )r{ }n-rとも考えられる。
  そこで、nPr通りはnCr通りとr!通りの積とも考えられる。
  nCr×r!=nPr
  両辺をr!で割ると、
  nCrnPr/r!

「異なるn個のものからr個を選ぶ。」は「異なるn個のものをr個とn-r個に分ける。」と言い換えられる。

nΠr=nr
nHr


問題 9個の玉を3組に分けることを考える。

 (1) 9個の異なる玉を,Aさんに4個,Bさんに3個,Cさんに2個分ける方法は何通りあるか。
 玉:{ }9→{ }4{ }3{ }2
 9!/(4!・3!・2!)=(9・8・7・6・5・4・3・2・1)/(4・3・2・1・3・2・1・2・1)=1260通り

 (2) 9個の異なる玉を,4個・3個・2個の3組に分ける方法は何通りあるか。
 玉:{ }9→{ }4{ }3{ }2
 9!/(4!・3!・2!)=(9・8・7・6・5・4・3・2・1)/(4・3・2・1・3・2・1・2・1)=1260通り

 (3) 9個の異なる玉を,Aさんに3個,Bさんに3個,Cさんに3個分ける方法は何通りあるか。
 玉:{ }9→({ }3{ }3{ }3)
 9!/(3!・3!・3!)=(9・8・7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・3・2・1・3・2・1)=1680通り

 (4) 9個の異なる玉を,3個・3個・3個の3組に分ける方法は何通りあるか。
 玉:{ }9→({ }3{ }3{ }3)→{{ }3{ }3{ }3}
 {9!/(3!・3!・3!)}/(3!)={(9・8・7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・3・2・1・3・2・1)}/(3・2・1)=280通り

 (5) 9個の異なる玉を,1個・4個・4個の3組に分ける方法は何通りあるか。
 玉:{ }9→{ }1({ }4{ }4)→{ }1{{ }4{ }4}
 {9!/(1!・4!・4!)}/(2!)={(9・8・7・6・5・4・3・2・1)/(1・4・3・2・1・4・3・2・1)}/(2・1)=315通り

 (6) 9個の異なる玉を,3人に分ける方法は何通りあるか。ただし受け取らない人がいてもよい。
 玉:{ }9→{ }0〜9{ }0〜9{ }0〜9
3・3・3・3・3・3・3・3・3=3Π9=39=19683

 (7) 9個の異なる玉を,3人に分ける方法は何通りあるか。ただし受け取らない人はいないものとする。
 玉:{ }9→{ }1〜9{ }1〜9{ }1〜9

 (8) 区別のつかない玉9個を,3人に分ける方法は何通りあるか。ただし受け取らない人がいてもよい。
 玉:[ ]9→{ | | }11→{ }9{|,|}2→[ ]0〜9[ ]0〜9[ ]0〜9

 (9) 区別のつかない玉9個を,3人に分ける方法は何通りあるか。ただし受け取らない人はいないものとする。
 玉:[ ]9→[ ]3[ ]6→[ ]3{ | | }8→[ ]3{ }6{|,|}2→[ ]1〜9[ ]1〜9[ ]1〜9

 (10) 区別のつかない玉9個を3組に分ける方法は何通りあるか。ただし組に区別は付けず,0個の組はあってはならない。
 玉:[ ]9→[ ]1〜9[ ]1〜9[ ]1〜9

 (11) 9個の異なる玉を3組に分ける方法は何通りあるか。ただし組に区別は付けず,0個の組はあってはならない。
 玉:{ }9→{ }1〜9{ }1〜9{ }1〜9


5・1

9×10×10×10=9000
第1式=第2式
第3式=第4式

a|1,2,3,4,5,6,7,8,9|0
b|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|φ
c|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|φ
d|0,1,2,3,4,5,6,7,8,9|φ

a|1,2,3,4,5,6,7,8,9|0
b|         |a
c|         |a,b
d|         |a,b,c


5・2

{1,2,3,4,5,6}6→{ }2{ }4
第1式=第2式

{x,y,y,y},{x,x,y,y},{x,x,x,y}
の3通りある.


5・3

(1)
{121,123,131,132,212,213,231,232,312,313,321,323}12

(2)
(3)


5・4

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}20→( )18{ }2

{,,,,,,,,,,,,,,,,,}18

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}10→( )1{ }9

{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}10→( )1{ }9

{ }18→( )16{ }2


5・5

{,,,,,}6

|1
|1
|1
|5P1=5
|5P2=5・4=20
|5P3=5・4・3=60

|1
|1
|1
|3
|4P1×3=4×3=12
|4P2×3=12×3=36

(1)
(2)


5・6

{ }7→{ }1{ }6
( ,hk, )8

{ }7→{ }2{ }5
( , ,hk, )8


5・7

(1)
{4,5,6,7,8,9,10}7→{ }4{ }3

(2)
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}13→{ }4{ }9

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}10→{ }4{ }6

(3)
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}10→{ }4{ }6

{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}10→{ }4{ }6

{4,5,6,7,8,9,10}7→{ }4{ }3

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}13→{ }4{ }9


5・8

1|0
2|0
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n


1|0
2|0〜n
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n

1|0〜n
2|0
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n

1|0
2|0
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n


1|0
2|0〜n
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n

1|0〜n
2|0
3|0〜n
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n

1|0〜n
2|0〜n
3|0
4|0〜n
5|0〜n
6|0〜n


5・9

1番目|  |´↓きキΝЛ
2番目|  |´↓きキΝ
3番目|  |´↓きキ
4番目|  |´↓き
5番目|  |´↓
6番目|  |´↓
7番目|  |´
8番目|  |
9番目|9,10|
10番目|  |


5・10

(1)
{ }6→{ }2{ }4→{ }2{ }2{ }2
第1式=第2式=第3式

{ }6→({ }2{ }2{ }2)3

(2)
{ }6→({ }2{ }2{ }2)3→{{ }2{ }2{ }2}3

3!


5・11
5・12

□P
{ }3→{←,←}2{↓}1
P→
{ }6→{←,←}2{↓,↓,↓,↓}4

□Q
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2
Q→
{ }5→{←,←}2{↓,↓,↓}3

□R
{ }5→{←,←}2{↓,↓,↓}3
R→
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2

□P
{ }3→{←,←}2{↓}1
Q→
{ }5→{←,←}2{↓,↓,↓}3

□Q
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2
R→
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2

(2)
□Q
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2
R→
{ }4→{←,←}2{↓,↓}2


5・13
5・14

n角形における対角線の数
n(n-3)/2

3角形では0本
4角形では2本
5角形では5本
6角形では9本
7角形では14本
8角形では20本


5・15

n=1からではなく、n=0から考える。

§6. 確率(数機

j\i12334
1 
2× 
3×× ×
3××× 
4×××× 

j\i12334
1 
2 
3 
3 
4 

j\i12334
1
2
3
3
4


6・1

{ }11→( )11
{ { }2 }10→( ( )2 )10
(2!×10!)/11!

{ }10→{ }1{ }9
{ }2→( )2
{ }9→( )9

{ }10→{ }1{ }9
{ }11→{ }2{ }9
{ }7→{男}5{ }2
{ }11→{男}5{女}6


6・2

{1,2,3,4,0,1,2}7

(1)
{ }7→{赤}4{黒}3

{赤,黒,赤,黒,赤,黒,赤}7

(2)
{1,2,3,4}4→( )4
{1,2,3,4}4

{0,1,1,2,2,3,4}7→( )7
{0,{1,1}2,{2,2}2,3,4}5→( ( )2 ( )2 )5

6・3
6・4

{ }15→{ }3{ }12
{赤}5→{ }2{ }3
{白}10→{ }1{ }9

{ }15→( )15
{白}10→{ }1{ }9
{ }14→( )14

{ }15→( )15
{赤}5→{ }1{ }4
{白}10→{ }5{ }5
{ }9→( )9
{ }5→( )5


6・5

{ }16→{ }3{ }13

{ }4→{ }2{ }2
{ }4→{ }1{ }3
{ }16→{ }4{ }12

{ }4→{ }2{ }2
{ }4→{ }1{ }3
{ }4→{ }1{ }3


6・6
6・7
6・8
6・9
6・10
6・11
6・12
6・13
6・14
6・15
6・16

1|0〜n
2|0〜n
3|0〜n
4|0〜n
5|0
6|0〜n

1|0〜n
2|0〜n
3|0
4|0〜n
5|0
6|0


6・17
6・18
6・19
§7. 座標と図形
7・1

x=2-2y

y=2x-2vx+v
2vx-v+y-2x=0


7・2

2y=-x+7
y=-(1/2)x+(7/2)……'

b+6+4b-24=7
5b=25

(-4-7)/(10-2)=-11/8

4x-11(x-2)+56=28
4x-11x+22+56=28
50=7x

(1/2){(49/7)-(50/7)}=(1/2)(-1/7)


7・3

(3-4+4)/3,(9+0+0)/3


7・4

P(p,p2)
Q(q,q2)

AP=√(0-p)2+(a-p2)2=√p2+a2-2ap2+p4としたり、AQ=√(0-q)2+(a-q2)2=√q2+a2-2aq2+q4とするのはまずい。

tan(θ)=m
tan2(θ)=m2
1+tan2(θ)=sec2(θ)=m2+1
sec(θ)=√m2+1

x={-(-m)±√(-m)2-4・1・(-a)}/(2・1)
x={m±√m2+4a}/2


7・5

2y=2x2+(2a+8)x-2a'
15=10a+16-a2-2a-1
15=10a+15-a2-2a
0=-a2+8a

a(a-8)=0

-
3x2+(-2a+4)x+a2-a+1

D=b2-4ac>0
a2-4a+4-3a2+3a-3>0
-2a2-a+1>0


7・6

(1)
ax2+bx+c-x=a(x-1)2
ax2+bx+c=a(x2-2x+1)+x
ax2+bx+c=ax2-2ax+a+x
ax2+bx+c=a[x2-{(2a-1)/a}x]+a
ax2+bx+c=a[x-{(2a-1)/2a}]2-{(4a2-4a+1)/4a}+(4a2/4a)+{(4a-1)/4a}

(2)
1/2a=1-x

2y=2-(1/2a)
1/2a=2-2y

1-x=2-2y


7・7
7・8

x2-4x+4+y2-2y+1=4…'

-'


7・9

y-x+5=0…'

x2+y2-8x-4y+11+2ky-2kx+10k=0…'

{x-(4+k)}2-(4+k)2+{y-(2-k)}2-(2-k)2+11+10k=0

0=-11-10k+(k-2)2
0=-11-10k+k2-4k+4


7・10

(1)
△OBP∽△POQ
4/OB=b/4

△ABH∽△OBP
AH/AB=OP/OB

{1-(2/OB)}×4
={1-(2b/16)}×4
=4-(8b/16)

(2)
三平方
by=-a(x-a)+b2
by=-ax+a2+b2
ax+by-(a2+b2)=0

|2b-16|/4=|(b/2)-4|


7・11

√12+12=√1+1=

mx-y=0

|m-1|/√m2+1=1/√2
(m-1)2/(m2+1)=1/2

2(m2-2m+1)=m2+1
2m2-4m+2=m2+1


7・12

(1)
x2+(x2-p)2=r2
x2+x4-2px2+p2-r2=0

D=b2-4ac=0

4p2-4p+1-4p2+4r2=0
-4p+1+4r2=0

(2)
2p>1


7・13

OAの半分
√(3/2)2+(5/2)2=√(9/4)+(25/4)=√34/4


7・13

0=-(1/m)(0-3)+5
0=(3/m)+5
-5=3/m

y/x=m
y=-(x/y)(x-3)+5
y2=-x(x-3)+5y
y2=-x2+3x+5y


7・14

(-7p+4)y=-6p(x-2)
-7py+4y=-6px+12p
4y=-6px+7py+12p
4y=p(-6x+7y+12)


7・14

x-my-1=0
y-3x=0

4-m・0-1+k(0-3・4)=0
4-1-12k=0
3=12k
k=1/4

x-my-1+(1/4)(y-3x)=0
y+2x=0


7・15

A(a,2a2),B(b,2b2)

y={2(a2-b2)/(a-b)}(x-a)+2a2
y={2(a-b)(a+b)/(a-b)}(x-a)+2a2
y=2(a+b)(x-a)+2a2
y=2(a+b)x-2a2-2ab-2a2

2ab=-1/2
y=-[1/{2(a+b)}]x

2(a+b)=-x/y…'
y2=-x2+(y/2)

(2a2/a)・(2b2/b)
=2a・2b


7・16

l(x)はf(x)と同様に、xの関数であることを表す。

x2-l(x)=x2-2tx+t2
-l(x)=-2tx+t2
y=-(1/2t)x+(1/2t)t+t2


7・17

k2(x'2+y'2)(x'2+y'2)=1
k2(x'2+y'2)2=1
k2=1/(x'2+y'2)2

(x'/x'2+y'2)+(y'/x'2+y'2)-3=0


7・18

l(x)=-a2+2ax+1
=-a2+2ax-x2+x2+1
=-(a2-2ax+x2)+x2+1

l(0)=y=2・0・x+1-02=0+1-0=1

l(1)=y=2・1・x+1-12=2x+1-1=2x


7・19

-(x/4)q2+(x/4)(4/x)q-(x/4)(4/x2)+(x/4)(4/x2)


7・20

x2+x+(1/4)+y2+(2k+1)y+{(4k2+4k+1)/4}+k2+1-(1/4)-{(4k2+4k+1)/4}=0
+k2+1-(1/4)-k2-k-(1/4)=0
-k+(1/2)=0

x2+y2+x+2ky+y+k2+1=0

y2-x2-y2-x-y-1≧0
-x2-x-y-1≧0


§8. 平面のベクトル

平面ベクトルの加法
  (a, b)
+(c, d)
――――
(a+c,b+d)

平面ベクトルの減法
  (a, b)
−(c, d)
――――
(a-c,b-d)

平面ベクトルの内積
  (a, b)
・(c, d)
――――
ac+bd

チェバは三角形の外部の比、メネラウスは三角形の内部の比に用いる。
チェバ→メネラウス→メネラウス→メネラウスの順に用いる。

ベクトルを設定するときは、なるべく短く設定する。


8・1

(AS/SB)・(BQ/QO)・(OP/PA)=1
(AS/SB)・(1/5)・(3/2)=1
(AS/SB)・(3/10)=1
AS/SB=10/3

(AS/SB)・(BQ/QO)・(OP/PA)=1
(AS/SB)・(1/5)・(3/2)=1
(AS/SB)・(3/10)=1
AS/SB=10/3

(AS/SB)・(BQ/QO)・(OP/PA)=1
(AS/SB)・(1/5)・(3/2)=1
(AS/SB)・(3/10)=1
AS/SB=10/3

(AS/SB)・(BQ/QO)・(OP/PA)=1
(AS/SB)・(1/5)・(3/2)=1
(AS/SB)・(3/10)=1
AS/SB=10/3


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§9. 空間のベクトル

  (a, b, c)
+(d, e, f)
――――
(a+d,b+e,c+f)

  (a, b, c)
−(d, e, f)
――――
(a-d,b-e,c-f)

  (a, b, c)
・(d, e, f)
――――
ad+be+cf

  (a, b, c)
×(d, e, f)

  (a, b, c) a, b)
×(d, e, f) d, e)

  bf cd ae
  (a, b, c) a, b)
×(d, e, f) d, e)

  bf cd ae
  (a, b, c) a, b)
×(d, e, f) d, e)
  ce af bd

  bf cd ae
  (a, b, c) a, b)
×(d, e, f) d, e)
  ce af bd
――――――
  (bf-ce,cd-af,ae-bd)


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§10. 複素数と複素数平面

平行移動
平行移動する。
w=z+α

回転相似移動
原点の回りに回転する。
伸縮する。
w=αz

反転
単位円に関して対称移動する。
w=1/z=z/|z|2

共役反転
単位円に関して対称移動する。
実軸に関して対称移動する。
w=1/z=z/|z|2

一次分数関数(メビウス変換)
w=αz+β/γz+δ=(α/β)+(βγ-αδ/γ2z-γδ)


w=z2


w=z+(α/z)


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§11. 3角・指数・対数関数
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§12. 微分法とその応用
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§13. 積分法とその応用
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13・7
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