数的推理
１ 速さと時間
絶対知っていないといけない公式は距離＝速さ×時間ぐらいです。
(問題１)
上りも下りも電車の速度が同じで、運転の間隔が等しいものとする。
線路沿いを歩いていたところ、電車に12分ごとに追い越され、
6分ごとに前方からきた電車とすれ違いました。電車は何分間隔で走っているのか？
１ ７分
２ ８分
３ ９分
４ 10分
５ 11分
電車の速さをＸm/分、歩く速さをＹm/分、電車の間隔をa分とします。
電車間の距離はaＸmとなりますから、
（電車の速さ―歩く速さ）×（追い越される間隔）＝（電車間の距離）
(Ｘ―Ｙ)×12＝aＸ・・・１
（電車の速さ＋歩く速さ）×（すれ違う間隔）＝（電車間の距離)
(Ｘ＋Ｙ)×６＝aＸ・・・２
１と２を連立して
(Ｘ―Ｙ)×12＝(Ｘ＋Ｙ)×６
６Ｘ＝18Ｙ
Ｘ＝３Ｙ
これを１に代入して
a＝８
よって、肢２が正答です。
２ 記数法
記数法で必要なことは10進法からＮ進法への変換とＮ進法から10進法への変換ができるかということです。
Ｎ進法では０からＮ−１までの数をつかってあらわします。Ｎ−１の次の数０に戻ると同時に次の桁が1つ増えるのです。
例えば、10進法では０から９までの数をつかい、９の次は０にもどり、次の桁の数が１つ増えるのです。
| １０進法 |
１ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
７ |
８ |
９ |
１０ |
| ２進法 |
１ |
１０ |
１１ |
１００ |
１０１ |
１１０ |
１１１ |
１００１ |
１０１０ |
１０１１ |
| ３進法 |
１ |
２ |
１０ |
１１ |
１２ |
２０ |
２１ |
２２ |
１００ |
１０１ |
| ５進法 |
１ |
２ |
３ |
４ |
１０ |
１１ |
１２ |
１３ |
１４ |
２０ |
| ７進法 |
１ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
１０ |
１１ |
１２ |
１３ |
5進法の110は5進法では右から５0の位、５1の位、５2の位
を表します。
よって、10進法であらわすには５2×１+５1×１+５0×０＝30となり
10進法では30をあらわします。
逆に10進法の30を7進法に変換するには右から７0の位、
７1の位、７2の位となりますから
７1の位が４、７0の位が２となり42と表せます。
３ 整数
整数の問題は剰余の定理と素因数分解などが中心です。
（剰余の定理）
ある式を（Ｘ-ａ）で割った余りは
ある式のＸにaを代入したものになるという定理です。
(cf) X2+8X+6をX-2で割った余りは
X2+8X+6のXに2を代入して22+8*2+6=26ということになります。
(問題１）
2X2+aX+bをX-1で割った余りが-3で、
X+1で割った余りが-5のときX-2で割った余りはどれか？
１ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
X-1で割った余りが-3であるから２*１2+a+b=-3
X+1で割った余りが-5であるから２*(-1)2-a+b=-5
この２式を連立して解くとa=1,b=-6となり、
与えられた式は2X2+X-6となります。
よって求める余りはこの式のXに2を代入して４となります。
正解は肢の４となります。
（問題２）
７で割ると３余り、11で割ると７余る自然数のうち最小の数の全ての桁の和はいくらか？
１ １０
２ １１
３ １２
４ １３
５ １４
７で割ると３余る数⇒７で割りきれるには４足りない数
11で割ると7余る数⇒11で割りきれるには４足りない数
よって、7で割っても11で割っても４足りない数のうち最小のものを
求めればよい。よって、７と11の最小公倍数から4を引いた数をもとめると
73となり、正解は肢１となります。
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