Welcome to the Universe of KankodoriCarte

KankodoriCarte により、『数論の世界』を縦断しました。
この他、『特殊相対論の世界』・『古典量子力学の世界』横断も体験しております。
逐次、発表予定ですが・・・ まず、「数論の世界紀行」の到達点「十六元数」の姿を visualize、
併せて、KankodoriCarte の解説を試みます。

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これが、眼で観る十六元数(Sedenion)の乗算表です。
まさに、２１世紀的『曼荼羅』といえましょう。
ただし、この画像は、対角線を軸とする「プラス・マイナス」・「交代性」を捨象、
「対称性」のみで表現された十六元数を表示しています。
このため、「プラス・マイナス」「交代性」のみを表した次のモノクローム画像により補完、十六元数の乗算関係を鑑賞してください。

この「補完関係」から、重要なことが分かります。


「プラス・マイナス」「交代性」のみで表現された十六元数。
「交代性」を浮かび上がらせるため、上図とは別の視点から観察します。

[重要な発見]
虹色の移ろいをみせる『Hegel 論理学』の推論美を堪能してください。
２つの画像の補完関係から、読み取れる規則性は、次の通りです。
　　　　　　　　　　「交代性」＝「対称性」×「交代性」
　　　　　　　　　　「対称性」＝「交代性」×「交代性」
これは、「プラス(「対称性」)・マイナス(「交代性」)」の乗算関係そのものです。
この２式の関係は、直ちに、次の２式を誘導し、『閉集合』化します。
　　　　　　　　　　「交代性」＝「交代性」×「対称性」
　　　　　　　　　　「対称性」＝「対称性」×「対称性」
こうして出来上がった『閉集合』が、ふたたび、論理的 Venn Diagram を構成します。

「対称性」・「交代性」を「＋・−」に書き換えます。
　　　　　　　　　　「−」＝「＋」×「−」
　　　　　　　　　　「＋」＝「−」×「−」
　　　　　　　　　　「−」＝「−」×「＋」
　　　　　　　　　　「＋」＝「＋」×「＋」
これは、１つの完結した集まり『閉集合』・・・つまり、論理的 Venn Diagram を構成、この秩序が破壊される時、以下の通り、新たな『虚数単位』が出現します。

　　　まず、２行目・４行目を取り出します。
　　　論理過程の観察なので、数学的表現規則にはこだわりません。
　　　　　　　　　　「＋」＝「−」×「−」
　　　　　　　　　　「＋」＝「＋」×「＋」
　　　２式を「統一』します。
　　　　　　　　　　「＋」＝「？」×「？」
　　　ここで、『鳩ノ巣原理』の鳩を出現させます。
　　　意地悪な質問です
　　　　　　　　　　「−」＝「？」×「？」
　　　答えです。
　　　　　　　　　　「−」＝「i」×「i」
　　　虚数単位 i の誕生です。


上図を、時計方向に 45度回転、Plus-Minus の「交代性」を際立たせました。
左右の「交代性」と、上下の「交代性」が微妙に交錯しています。



「除去」と「塗りつぶし」により、「対称性」と「交代性」の交錯を見やすくします。

白い縁(「対称性」部分)「除去」により、「×型・＋型」対称軸は「２の平方根」の逆数だけ、下に移動、
新たな「対称性」・「交代性」・交錯が顕れます。
素粒子論研究においても、重要な働きをするといわれる「多元数」の美を鑑賞してください。

この『曼荼羅』的宇宙美の展開は、すべて、最初に提示されたカラフル画像・左上隅の『白い１区画』(一元数単位１)から導き出されたのです。



[疑問符算法]・[？記号算法]

Venn Diagram ・・・つまり、閑古鳥カルタ・・・が、
一元数・二元数・四元数・八元数を創りだすメカニズムを示します。

計算・定義式が、縦・横に配置されているのは、『２入力・１出力』・device の image に対応するためです。

変数 x の代わりに、？記号が使われているのは、代入される対象が『数』ばかりでなく、 『概念』まで含むことを印象付けるためです。

つまり、この表現は、「数学」的ではなく、「論理学」的なのです。
「数値計算」・「算術」的ではなく、「λ 計算」・「プログラミング」的なのです。


閑古鳥カルタの一例です。
「黒」が『真』、「白」が『偽』という論理値を表します。
この例では、ExclusiveOr(Xor) という論理関係を表示するカルタとなります。
Xor は、絶対に両立しないのに関わらず、1つの図形で表していることは、図形が『矛盾』を表現していることを意味します。
この関係の説明には、本一冊文の情報量を必要とします。


さらにミクロな視点からの多元数生成の image。
これが、原型です。


上図の数式の背後には、左図のような論理的関係が潜んでいると解されます。
このような論理的関係があって、初めて、数学的関係が生成されると考えられます。

まず、数式は、底知れぬ真理を開示しています。
式を、右辺から左辺へと読んでいくと、「虚数単位 i 」創生の秘密が立ち現れます。
右辺の数値の領域は、「実数」・「整数」領域に限定されているにも関わらず、
左辺には、実数」・「整数」の領域を超えた「虚数単位」が顕現しているのです。
「行列」は、『閑古鳥カルタ』の数学の世界における１つの姿です。
従って、全行列理論が、「閑古鳥カルタ」理論に論理関係の姿をとって流れ込んできます。

すると、この論理的対応物は、Venn Diagram の・・・従って、『閑古鳥カルタ』の・・・ さらには、『弁証法』の論理を精密化、深部の秘密を開示していくことが期待されます。


閑古鳥カルタ全図(16 units)の表示です。
閑古鳥カルタは、表・裏が黒・白反転するように設計できますので、枚数は 8 枚に削減できます。
さらに、回転させれば、少数のカルタで演習が可能です。

Venn Diagram 関係・・・つまり、閑古鳥カルタ・・・の概念創造の秘密が垣間見られます。 Nand から、一元的に、全論理関係が導出されることを示します。
Nor からも、一元的に、全論理関係が導出されます。

Nand と Nor は、この意味で論理学的には等価であることになります。
しかし、エンジニアリングの観点からは、その implementation の差からくる処理速度などに差異があり、業界住み分けの原因の一つになっています。
この事情が視野に入っていないと、完全なケータイ業界の市場分析は困難と想われます。

この図形・論理関係の説明だけで、一冊の本に相当する情報量を必要とします。


通常掲げられる Venn Diagram が、高度な『対称性』の許で、変容する中間過程を示します。


正方形のカルタが標準的です。特に、ディジタル回路設計学習に向きます。
正三角形は、さらに、高度な「対称性」からの視点で、Hegel 論理学の学習に適します。
ただし、省略された section の値は、『真・偽』のいずれに見なしているかを念頭においている必要があります。

[Hegel 論理学との対応]
一応の目安に過ぎません。
　　　　　　　　逆三角 position : 『有論』
　　　　　　　　山形 　 position : 『本質論』
　　　　　　　　正方形:　　　　　　『概念論』

上部の数字・・・1,4,6,4,1・・・は、裏返しなしの回転のみで、その列のカルタが表示できる論理素子の種類数です。
この数列は、(1 + 1) を４乗した場合にできる「２項係数」です。
当然のことながら、合計で、全16 units になります。

Trivial な両端・２枚を省略すれば、回転・裏返しにより、必要正方形カルタは３種類のみとなります。
同じく正三角形カルタは、たったの１種類で用が足ります。


閑古鳥カルタは、回路技術の観点からは、『２入力・１出力』系に対応します。
その Domain ・ Codomain を示します。

Hegel 論理学的には、Domain が『外延量』(座標軸)に対応、
Codomain が『内包量』(明・暗)に対応します。

Domain 信号を「反転」させると、図形が「回転」します
Codomain 信号を「反転」させると、明・暗が「入れ替わり」ます。
特定のカルタを手にして、「明・暗」を入れ替えるには、法則があり、技術を必要とします。
それは、楽しい「遊び」であり、楽しい「学習」です。


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