導体球と絶縁体球のつくる電界と電位

まず、ガウスの法則を簡単に説明する。

ガウスの法則とは、任意の閉曲面を通過する正味の電束は、

その閉曲面内部にある正味の電荷を ε0 で割った値に等しい。つまり、

ということである。完全に式の意味がわからなくても、使っていくうちに理解できると思う。

以下、球の電荷を Q1 、球殻の電荷を Q2 として説明をする。

このモデルでは電荷の分布が球対称であり、電界、電位の分布も球対称になる。

そこで球の中心から半径 r の電界、電位を考える。

ガウス面（ガウスの法則でいう閉曲面）も球状のものを考える。

１、導体球による電界

まず球内であるが、導体では内部に電荷をもたない。

すべての電荷は導体表面に存在する。ガウス面を球体内のどこにとっても= 0 であり、E = 0 である。

導体球の外ではどうかというと、球体外にガウス面をとれば、その中の電荷は= Q1 である。

ガウスの法則を用いれば、

となる。また、導体球殻がある場合、球殻内部の電界は当然 ０ である。

球殻の外側では = Q1+Q2 となり、ガウスの法則を適用すれば、

となる。

２、導体球による電位

球殻がない場合、球の外側では、

であるので、

となる。導体球内では電界はないので等電位になる。

球殻がある場合は、区間に分けて積分することになる。

３、絶縁体球による電界と電位

まず、絶縁体球外では導体球と電界、電位は同じ結果になる。（アプレット参照）

これはガウスの法則に従った結果である。

次に絶縁体球内部であるが、絶縁体球が一様な体積電荷密度 ρ で帯電しているとすると、

となる。ガウスの法則を適用すれば、

また球の半径を ａ とすれば、

と書ける。これを代入して、

となる。

電位は球体内部の電位と球体の表面での電位の差として計算できる。

また、球体表面の電位は導体球と同じであるので、

となる。これを代入しについてまとめれば、

となる。