手法3　対比・帰納法

未知の知識を理解しようとするとき、それを既知の知識と比較・検討し（対比）、それを取り巻く共通の考え方を抽出する（帰納）方法。これにより、未知の知識と既知の知識が頭の中でつながり、人はそれを「理解した」と思うことができる。

たとえば内積を考えてみよう。なぜあのような演算を考えるのだろうか、と思った人は決して少なくないはずだ。

実数という概念は既知のものであるが、その実数がベクトルということがよく言われる。ならば実数の概念で内積に相当するものは何だろう？と考える。ところで、実数に対してはいわゆる「掛け算」が定義されている。その「掛け算」と「内積」を比較してみよう。

数直線上の点と原点を結ぶとき（ベクトルになる）、任意の二つのベクトルがなす角度は０°か180°のみだ（数直線の図をかいてみてほしい）。

つまり、内積の式：↑a・↑b＝｜↑a｜＊｜↑b｜cosαで、α＝0°、もしくはα＝180°に限られていることになる。

１）α＝0°になるということは、
掛け合わせた数が互いに正もしくは負である、ということ。
内積の式で、cosα＝１を代入すれば、
↑a・↑b＝｜↑a｜＊｜↑b｜
これは実数の演算では、プラス×プラス＝プラス。マイナス×マイナス＝プラスという既知の知識に符号する。

２）α＝180°になるということは、
掛け合わせた数の一方が正で一方が負である、ということ。内積の式で、cosα＝−１を代入して、
↑a・↑b＝−｜↑a｜＊｜↑b｜
これは実数の演算では、プラス×マイナス＝マイナスという既知の知識に符号する。

このように内積を実数の掛け算と比較してみると、　←対比
内積の概念は実数の掛け算の概念を包含していることが分かる。
そしてこれにより内積に対する概念はもちろん、
実数の掛け算に対する理解がより深くなる。　←帰納