【数列】基本事項、センター対策、二次・私大対策

【基本事項】
　　数列｛ａ_n｝とは
　　　　　　ａ₁、ａ₂、ａ₃、・・・、ａ_n、・・・
　といった数の並びのことです。この数の並びの規則を考えることになります。初項、末項、一般項といった
　用語は教科書等で確認してください(必ず)。

　　基本になるのは等差数列・等比数列で、数列の問題はこの二つの数列に帰着させることが目標になるのですが、
　ここでは階差数列も基本に含めて、等差数列・等比数列・階差数列の三つを基本に考えていきたいと思います。


●等差数列
　　等差数列とは差が等しい数列のことで

　　　　　　ａ₁→ａ₂→ａ₃→・・・→ａ_n-1→ａ_n→ａ_n+1→・・・　：→は＋ｄ　　　(▲1)

　の数列です。つまり、ａ₂−ａ₁＝ｄ、ａ₃−ａ₂＝ｄ、一般にａ_n−ａ_n-1＝ｄ　(ｎ=１,２,・・・)となる数列で、ｄを公差といいます。
　例を挙げておきます。

【例】
　　　　　　３、５、７、９、・・・
　これは、初項３、公差２の等差数列。
　　　　　　４、１、−２、−５、・・・
　これは、初項４、公差−３の等差数列。


　　等差数列の一般項ａ_nについて考えてみます。等差数列の一般項ａ_nは

　　　　　　ａ_n＝ａ₁+(ｎ−１)ｄ　　　(★1)

　で表されます。(▲1)から、ａ₁からａ_nになるまでに(ｎ−１)個の→がある、つまり、初項ａ₁に公差ｄを(ｎ−１)個加えた
　ものがａ_nであるということが容易にわかります。上と同じ例を使います。

【例】
　　　　　　３、５、７、９、・・・
　これは、初項３、公差２の等差数列だから、一般項ａ_nは、ａ_n＝３＋(ｎ−１)２＝２ｎ＋１になります。
　　　　　　４、１、−２、−５、・・・
　これは、初項４、公差−３の等差数列だから、一般項ａ_nは、ａ_n＝４＋(ｎ−１)(−３)＝−３ｎ＋７になります。


　これらの計算は教科書や教科書傍用問題集などで練習してください。


●等比数列
　　等比数列とは比が等しい数列のことで

　　　　　　ａ₁→ａ₂→ａ₃→・・・→ａ_n-1→ａ_n→ａ_n+1→・・・　：→は×ｒ　　　(▲2)

　の数列です。つまり、ａ₂＝ｒａ₁、ａ₃＝ｒａ₂、一般にa_n＝ｒａ_n-1となる数列で、ｒを公比といいます。
　例を挙げておきます。

【例】
　　　　　　２、６、１８、５４、・・・
　これは、初項２、公比３の等比数列。
　　　　　　３、−６、１２、−２４、・・・
　これは、初項３、公比−２の等比数列。

　　等比数列の一般項ａ_nについて考えてみます。等比数列の一般項ａ_nは

　　　　　　ａ_n＝ａ_n-1ｒ^n-1　　　(★2)

　で表されます。(▲2)から、ａ₁からａ_nになるまでに(ｎ−１)個の→がある、つまり、初項ａ₁に公比ｒを(ｎ−１)個かけた
　ものがａ_nであるということが容易にわかります。上と同じ例を使います。

【例】
　　　　　　２、６、１８、５４、・・・
　これは、初項２、公比３の等比数列だから、一般項ａ_nは、ａ_n＝２・３^n-1になります。
　　　　　　３、−６、１２、−２４、・・・
　これは、初項３、公比−２の等比数列だから、一般項ａ_nは、ａ_n＝３・(−２)^n-1になります。


　　これらの計算は教科書や教科書傍用問題集などで練習してください。


●数列の和
　　階差数列に入る前に数列の和について考えてみたいと思います。数列｛a_n｝の第１項から第ｎ項までの
　和を次のように表す。

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n

　ここから、数列の和と一般項の関係が容易に導かれる。

　　　　　　Ｓ_n　＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n-1＋ａ_n　　　(▲3)

　　　　　　Ｓ_n-1＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃＋・・・＋ａ_n-1　　　　　(▲4)

　(▲3)−(▲4)を計算すると

　　　　　　Ｓ_n−Ｓ_n-1＝ａ_n　　　(★3)

　ｎ番目のまで足したものから(ｎ−１)番目まで足したものを引くとｎ番目だけが残ります。


●等差数列の和
　　初項ａ₁、公差ｄの等差数列｛ａ_n｝の第１項から第ｎ項までの和Ｓ_nは

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁　　　　　　＋ａ₁＋ｄ　　　　＋・・・＋ａ₁＋(ｎ−２)ｄ＋ａ₁＋(ｎ−１)ｄ　　　(▲5)

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁＋(ｎ−１)ｄ＋ａ₁＋(ｎ−２)ｄ＋・・・＋ａ₁＋ｄ　　　＋ａ₁　　　　　　　(▲6)　（これは(▲5)を逆から並べたもの)

　(▲5)＋(▲6)を計算すると、

　　　　　　２Ｓ_n＝ａ₁＋ａ₁+(ｎ−１)ｄ＋ａ₁＋ａ₁＋(ｎ−１)ｄ＋・・・＋ａ₁＋ａ₁＋(ｎ−１)ｄ　　　(▲7)

　となる。(▲7)の右辺はａ₁＋ａ₁＋(ｎ−１)ｄがｎ個あり、ａ₁＋(ｎ−１)ｄ＝ａ_nであるから

　　　　　　２Ｓ_n＝(ａ₁＋ａ_n)×ｎ

　すなわち、

　　　　　　Ｓ_n＝(ａ₁＋ａ_n)/２×ｎ　　　(★4)

　　さらに、第ｉ項から第ｊ項(ｉ＜ｊ)までの和Ｓを考えます。これは、ａ_ｉを初項として上と同じ議論ができ、

　　　　　　Ｓ＝ａ_i＋ａ_i+1＋・・・＋ａ_j＝(ａ_i＋ａ_j)/２×(ｊ−ｉ＋１)

　となります(気になる人は自分で確認)。

　　以上の議論から、等差数列の和は

　　　　　　Ｓ＝{(初項)×(末項)}/２×(項数)　　　(★5)

　となります。{(初項)×(末項)}/２は各項の平均になっています。

　※項数の数え方は、第ｉ項から第ｊ項(ｉ＜ｊ)までの場合、第ｊ項までのうち第１項〜第ｉ−１項までが必要ないから
　ｊ−(ｉ−１)となります。

【例題】
　　初項２、公差３の等差数列｛ａ_n｝の第５項から第１０項までの和Ｓを求めよ。
【解】
　　(★5)から
　　　　　Ｓ＝(ａ₅＋ａ₁₀)/２×６＝(２＋４・３＋２＋９・３)/２×６=１２９　■


●等比数列の和
　　初項ａ₁、公比ｒの等比数列｛ａ_n｝の第１項から第ｎ項までの和Ｓ_nは

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁＋ａ₁ｒ＋・・・・・・・＋ａ₁ｒ^n-2＋ａ₁ｒ^n-1　　　　　(▲8)

　　　　　　ｒＳ_n＝　　ａ₁ｒ＋ａ₁ｒ²＋・・・・・・・・＋ａ₁ｒ^n-1＋ａ₁ｒⁿ　　　(▲9)　(これは(▲8)をr倍したもの)

　(▲8)−(▲9)を計算すると

　　　　　　(１−ｒ)Ｓ_n＝ａ₁−ａ₁ｒⁿ

　　　　　　　　　　＝ａ₁(１−ｒⁿ)

　よって、ｒ≠１のときは両辺を(１−ｒ)で割って

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁(１−ｒⁿ)/(１−ｒ)　(ｒ≠１)　　　(★6)

　となります。ｒⁿのｎは項数と考えてください。ｒ＞１のときは

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁(ｒⁿ−１)/(ｒ−１)　(ｒ≠１)　　　(★6')

　で覚えたほうがいいかもしれません(分母が正の数になるので)。どちらも結果は同じです。 　ｒ＝１のときは各項がａ₁と
　一致するから

　　　　　　Ｓ_n＝ａ₁ｎ　(ｒ＝１)

　となります。

　　さらに、第ｉ項から第ｊ項(ｉ＜ｊ)までの和Ｓを考えます。これは、ａ_iを初項として上と同様の議論ができ、

　　　　　　Ｓ＝ａ_i＋ａ_i+1＋・・・＋ａ_j＝ａ_i(1-r^j-i+1)/(１−ｒ)

　となります。ここでも、ｒ^j-i+1のｊ−ｉ＋１は項数です。

【例題】
　　初項２公比３の等比数列｛ａ_n｝の第４項から第７項までの和Ｓを求めよ。
【解】
　　一般項ａ_n＝２・３^n-1だからａ₄=５４。項数は４だから(★6')より
　　　　　　Ｓ＝５４(３⁴−１)/(３−１)＝２１６０　■


●��(シグマ)
　　�狽ﾍ和を表す記号です。�納i,j]ａ_kはａ_kのｋ＝ｉ〜ｊまでの和、つまり、

　　　　　　�納i,j]ａ_k＝ａ_i＋ａ_i+1＋・・・＋ａ_j

　ということです。数列｛ａ_n｝の第ｉ項から第ｊ項までの和ですね。正しい書き方は教科書等で確認して
　ください。


　　�納i,j]ａ_kにおけるいくつかの公式があります。

　　　　　　�納1,n]ｋ＝(１/２)ｎ(ｎ＋１)　　　(★7)：これは初項１、公差１の等差数列と同じです。

　　　　　　�納1,n]ｋ²＝(１/６)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)　　　(★8)

　　　　　　�納1,n]ｋ³＝{(１/２)ｎ(ｎ＋１)}²　　　(★9)

　　�納i,j]ａ_kにはいくつかの性質もあります。

　　　　　　�納i,j]ｐａ_k＝ｐ�納i,j]ａ_k　(ｐは定数)　　　(★10)

　　　　　　�納i,j](ａ_k＋ｂ_k)＝�納i,j]ａ_k＋�納i,j]ｂ_k　　　(★11)

　上の２つの性質をあわせると、

　　　　　　�納i,j](ｐａ_k＋ｑｂ_k)＝ｐ�納i,j]ａ_k＋ｑ�納i,j]ｂ_k　(ｐ、ｑは定数)　　　(★12)

　となります。この計算は教科書等で練習してください(必ず)。


　　ちょっと特殊な計算(受験では常識だけど)をやります。一般に、１/{(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)}は

　　　　　　１/{(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)}＝Ａ/(ｋ＋ａ)＋Ｂ/(ｋ＋ｂ)　　　(★13)

　の形に変形できます(部分分数分解といいます。これは事実として覚えておけば十分です)。Ａ、Ｂの求め方は、右辺を
　通分して両辺の分子をくらべたり、両辺に(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)をかけて両辺をくらべたりしても求まりますが、ここでは
　代入法を用います。(★13)の両辺に(ｋ＋ａ)をかけて、ｋ＝−ａを代入すると、

　　　　　　１/(ｂ−ａ)＝Ａ　すなわち　Ａ＝１/(ｂ−ａ)

　となります。同様に、(★13)の両辺に(ｋ＋ｂ)をかけて、ｋ＝−ｂを代入すると、

　　　　　　１/(−ｂ＋ａ)＝Ｂ　すなわち　Ｂ＝−１/(ｂ−ａ)

　となります。求まったＡ、Ｂを(★13)に代入すると、

　　　　　　１/{(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)}＝{１/(ｂ−ａ)}{１/(ｋ＋ａ)−１/(ｋ＋ｂ)}　　　(★14)

　となります。これは(★13)から計算してもいいのですが、(★14)を覚えておいても損はないと思います。
　　上の議論をふまえて、例題をやってみましょう。

【例題】
　　�納1,n]１/{ｋ(ｋ＋１)}を求めよ。
【解】
　　(★14)より
　　　　　　�納1,n]１/{ｋ(ｋ＋１)}＝�納1,n]{１/ｋ−１/(ｋ＋１)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１/１−１/２＋１/２−１/３＋１/３−１/４＋・・・・・・＋１/ｎ−１/(ｎ＋１)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１−１/(ｎ＋１)　(∵最初の項と最後の項以外は隣の項と打ち消し合う)　■
【別解(略解)】
　#　上の解答は(★14)を使ったけど、使わないで解くなら(★13)の
　#
　#　　　　　１/{(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)}＝Ａ/(ｋ＋ａ)＋Ｂ/(ｋ＋ｂ)
　#
　#からＡ、Ｂを求めることになるんだけど、上の解答のように最初の項と最後の項以外が消えるためにはＢ＝−Ａじゃないと
　#だめだから、結局、
　#
　#　　　　　１/{(ｋ＋ａ)(ｋ＋ｂ)}＝Ａ/(ｋ＋ａ)−Ａ/(ｋ＋ｂ)　　　(★15)
　#
　#を考えてるんだよね。これだと、Ａだけ求めればいいから計算が楽になる。そんなわけで、

　　　　　　１/{ｋ(ｋ＋１)}＝Ａ/ｋ−Ａ/(ｋ＋１)
　とおける。両辺にｋをかけてｋ＝０を代入すると

　　　　　　Ａ＝１

　したがって、

　　　　　　１/{ｋ(ｋ＋１)}＝１/ｋ−１/(ｋ＋１)

　よって、

　　　　　　�納1,n]１/{ｋ(ｋ＋１)}＝�納1,n]{１/ｋ−１/(ｋ＋１)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝１/１−１/２＋１/３−１/４＋・・・以下略　■

【例題】
　　�納1,n]１/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}を求めよ。
【解】
　　　　　　１/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}＝Ａ/{ｋ(ｋ＋１)}＋Ｂ/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}　　　(★16)

　とおける。両辺にｋをかけてｋ＝０を代入すると、

　　　　　　１/２＝Ａ　すなわち　Ａ＝１/２
　同様に、両辺にｋ＋２をかけてｋ＝−２を代入すると、

　　　　　　１/２＝−Ｂ　すなわち　Ｂ＝−１/２

　これらを(★16)に代入すると、

　　　　　　１/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}＝(１/２)/{ｋ(ｋ＋１)}−(１/２)/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)[１/{ｋ(ｋ＋１)}−１/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}]

　となる。よって、

　　　　　　�納1,n]１/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}＝�納1,n](１/２)[１/{ｋ(ｋ＋１)}−１/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)�納1,n][１/{ｋ(ｋ＋１)}−１/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２){１/(１・２)−１/(２・３)＋１/(２・３)−１/(３・４)＋・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・＋１/{ｎ(ｎ＋１)}−１/{(ｎ＋１)(ｎ＋２)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２){１/２−１/{(ｎ＋１)(ｎ＋２)}　(∵最初と最後の項以外は・・・)　■
【別解(略解)】
　　　　　　１/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}＝Ａ/{ｋ(ｋ＋１)}−Ａ/{(ｋ＋１)(ｋ＋２)}

　とおける。両辺にｋをかけてｋ＝０を代入すると、

　　　　　　Ａ＝１/２・・・以下略　■
　

　　　to be continued



　ここから先は自分用のメモ

【例題】
　　�納1,n]２ｋ/{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)}

　　一般に、
　　　　　　ａ_n＝f(n)−f(n+1)
　と変形できたら、
　　　　　　�納1,n]ａ_k＝�納1,n](f(k)−f(k+1))
【例題】
　　�納1,n]２ｋ/３^k

●階差数列
●漸化式


　　　to be continued


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