(１)
＃強引に解きます(つまり誰にでも解けます)。

　　　　　ｂ_n＝ａ_n/(ａ_n＋１)　　(ｎ≧１)

より、

　　　　　ａ_n(１−ｂ_n)＝ｂ_n　　(ｎ≧１)

ｂ_n≠１(∵ｂ_n＝ａ_n/(ａ_n＋１)＝１−１/(ａ_n＋１)≠１)だから、

　　　　　ａ_n＝ｂ_n/(１−ｂ_n)　　(ｎ≧１)　　　(▲1)

これより、

　　　　　ａ_n+1＝ｂ_n+1/(１−ｂ_n+1)　　(ｎ≧０)　　　(▲2)

(▲1)、(▲2)を

　　　　　ａ_n+1＝２ａ_n/(３ａ_n＋５)

に代入すると、

　　　　　ｂ_n+1/(１−ｂ_n+1)＝{２ｂ_n/(１−ｂ_n)}/{３ｂ_n/(１−ｂ_n)＋５}　　(ｎ≧１)

これを計算していくと、

　　　　　ｂ_n+1＝(２/５)ｂ_n　　→等比！

また、初項ｂ₁は、

　　　　　ｂ₁＝ａ₁/(ａ₁＋１)

　　　　　　　＝３/４

であるから、

　　　　　ｂ_n＝(３/４)(２/５)^n-1　　(ｎ≧１)

(２)
ｂ_n＝ａ_n/(ａ_n＋１)　(ｎ≧１)であり、(１)よりｂ_n＝(３/４)(２/５)^n-1　(ｎ≧１)であるから、

　　　　　ａ_n/(ａ_n＋１)＝(３/４)(２/５)^n-1　　(ｎ≧１)

　　　　　ａ_n{１−(３/４)(２/５)^n-1}＝(３/４)(２/５)^n-1　　(ｎ≧１)

　　　　　∴ａ_n＝３・２^n-1/(４・５^n-1−３・２^n-1)　　(ｎ≧１)　■




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