(１)
#274で扱った正射影ベクトルを使います(使わなくても解けますが)。

　ＯＰとＡＱの交点をＨとおく。ＯＨ↑は、
　　　　　　ＯＨ↑＝(ａ↑・ＯＰ↑/|ＯＰ↑|²)ＯＰ↑
　　　　　　　　　＝[ａ↑・{(２/３)ａ↑＋(１/３)ｂ↑}/|(２/３)ａ↑＋(１/３)ｂ↑|²]{(２/３)ａ↑＋(１/３)ｂ↑}
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　＝(５/８)ａ↑＋(５/１６)ｂ↑
点Ｑは点ＡからＡＨ↑を２倍に伸ばしたところだから、
　　　　　　ＯＱ↑＝ＯＡ↑＋２ＡＨ↑
　　　　　　　　　＝ＯＡ↑＋２(ＯＨ↑−ＯＡ↑)
　　　　　　　　　＝２ＯＨ↑−ＯＡ↑
　　　　　　　　　＝(１/４)ａ↑＋(５/８)ｂ↑
(２)
　　　　　　ＯＲ↑＝ｋＯＱ↑
　　　　　　　　　＝(１/４)ｋａ↑＋(５/８)ｋｂ↑
ＲはＡＢ上にあるから、
　　　　　　(１/４)ｋ＋(５/８)ｋ＝１
よって、
　　　　　　ｋ＝８/７
　　　　　　∴ＯＲ↑＝(２/７)ａ↑＋(５/７)ｂ↑
(３)
#とりあえず、比をつかって強引に解いてみます。

　(２)よりＯＲ↑＝(８/７)ＯＱ↑だから、
　　　　　　ＯＲ：ＱＲ＝８：１
よって、
　　　　　　△ＰＱＲ＝(１/８)△ＯＰＲ
また、ＡＰ：ＰＢ＝１：２であり、(２)よりＡＲ：ＲＢ＝５：２だから、
　　　　　　ＡＰ：ＰＲ：ＲＢ＝７：８：６
よって、
　　　　　　△ＯＰＲ＝(８/２１)△ＯＡＢ
よって、
　　　　　　△ＰＱＲ＝(１/８)(８/２１)△ＯＡＢ
　　　　　　　　　　＝(１/２１)(１/２)√{(|ａ↑||ｂ↑|)²−(ａ↑・ｂ↑)²}
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　＝(√７)/４　■
(３)の別解
#△ＯＡＰ＝△ＯＰＱに気づくと、比の計算がめんどくさくならずに解けます。

　△ＯＡＰ＝△ＯＰＱより、
　　　　　　△ＰＱＲ＝△ＯＡＲ−２△ＯＡＰ
ＡＲ：ＲＢ＝５：２、ＡＰ：ＰＢ＝１：２だから、
　　　　　　△ＰＱＲ＝(５/７)△ＯＡＢ−２(１/３)△ＯＡＢ
　　　　　　　　　　＝(１/２１)△ＯＡＢ・・・以下略　■




HOME