共役複素数をｚ~で表す。
　(１)
　　ｚ⁵＝１より|ｚ|＝１
　ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθとおくと
　　　　　　ｚ~＝ｃｏｓθ−ｉｓｉｎθ
　　　　　　　　＝ｃｏｓ(−θ)＋ｉｓｉｎ(−θ)
　　　　　　　　＝１/ｚ
　(２)
　#ｚ⁵＝１⇔(１−ｚ)(１＋ｚ＋ｚ²＋ｚ³＋ｚ⁴)＝０
　#なので、とりあえず計算していくと・・・

　　　　　　ｔ²＋ｔ−１＝(ｚ＋ｚ~)²＋(ｚ＋ｚ~)−１
　　　　　　　　　　　　＝(ｚ＋１/ｚ)²＋(ｚ＋１/ｚ)−１
　　　　　　　　　　　　＝１＋ｚ＋ｚ²＋１/ｚ²＋１/ｚ

　#ｚ⁵＝１だから、分母をｚ⁵にして消すと・・・

　　　　　　　　　　　　＝１＋ｚ＋ｚ²＋ｚ³/ｚ⁵＋ｚ⁴/ｚ⁵
　　　　　　　　　　　　＝１＋ｚ＋ｚ²＋ｚ³＋ｚ⁴

　#ｚ≠１より１−ｚ＝０だから

　　　　　　　　　　　　＝(１−ｚ)(１＋ｚ＋ｚ²＋ｚ³＋ｚ⁴)/(１−ｚ)
　　　　　　　　　　　　＝(１−ｚ⁵)/(１−ｚ)
　　　　　　　　　　　　＝０

　(３)
　　　　　　(ｚ＋１)(ｚ~＋１)＝|ｚ|²＋ｚ＋ｚ~＋１
　　　　　　　　　　　　　　　＝ｔ＋２
　また、
　　　　　　(ｚ＋１)(ｚ~＋１)＝(ｚ＋１)(ｚ＋１)~
　　　　　　　　　　　　　　　＝|ｚ＋１|²
　であるから、
　　　　　　|ｚ＋１|²＝ｔ＋２
　(２)よりｔ²＋ｔ−１＝０だから、
　　　　　　ｔ＝(−１±√５)/２
　よって、
　　　　　　|ｚ＋１|²＝(−１±√５)/２＋２
　　　　　　　　　　　　＝(３±√５)/２
　　　　　∴|ｚ＋１|＝√{(３±√５)/２}

　あとは二重根号外すだけなので略　■