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　先日、Ａ君に「なかなか面白い問題があるよ。」と言って、ある図形問題を手渡しました。　１時間くらいたってＡ君が「分かりません。降参です。」と言ってきたので、「１時間ぐらいで降参は早い。１週間ぐらい考えて、来週持ってきなさい。」と帰しました。

　白状すると、その問題を私は１日前に見て、１時間くらい考え、まだ解けていなかったのです。何といい加減なと言われそうですが、私の考える数学の問題は１、２日くらい考えるのは当たり前で、１週間くらいゆっくりああでも、ないこうでもないと、１つの問題をひねくり回していることに至福を感じるのです。

　

☆３６０年間かかった問題

　

　１週間くらい１つの問題を考えるなんて、まだ序の口。実は３６０年間考え続けられて、つい最近解決した問題があるのです。それはフェルマーの予想と呼ばれる、次の様な問題です。

　

　

◎数学を創った人々第１１回：ピタゴラス〜フェルマー〜ワイルズの巻

　

　ピタゴラスは「エヴァリスト」第６号に登場しました。そのピタゴラス派の表看板は、何とい

ってもピタゴラスの定理（別名三平方の定理）です。　　　　　　 　　　　　　　 Ｂ

　上の式�@で、ＡＣ＝Ｘ，ＢＣ＝Ｙ，ＡＢ＝Ｚ とすると

　　Ｘ^２＋Ｙ^２＝Ｚ^２・・・�A　となります。Ｘ，Ｙ，Ｚをすべて整数に限ると、たとえば

　　３^２＋４^２＝９＋１６＝２５＝５^２ なので、

　（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（３，４，５）は式�Aの整数解の組となります。

　この様な、式�Aの整数解の組をピタゴラスの数と言います。

　さてピタゴラスの数は、（３，４，５）の他にあるでしょうか。ただし、（６，８，１０）の様な単に（３，４，５）を整数倍したものを除いてです。

　実は、（５，１２，１３）（８，１５，１７）もピタゴラスの数です。

　たとえば、５^２＋１２^２＝２５＋１４４＝１６９＝１３^２。（８，１５，１７）の方も確かめてください。ここで種をあかすと、ピタゴラスの数を求める公式があります。それは

　

　ｍとｎを一方が奇数で他方が偶数とし、 ｍ＞ｎとする。このとき

　Ｘ＝ｍ^２−ｎ^２，Ｙ＝２ｍｎ，Ｚ＝ｍ^２＋ｎ^２ とすると、Ｘ，Ｙ，Ｚはピタゴラスの数である。

　

　たとえば、ｍ＝２，ｎ＝１とすると、

　　　Ｘ＝２^２−１^２＝４−１＝３，Ｙ＝２×２×１＝４，Ｚ＝２^２＋１^２＝４＋１＝５

　　　ｍ＝３，ｎ＝２とすると、

　　　Ｘ＝３^２−２^２＝９−４＝５，Ｙ＝２×３×２＝１２，Ｚ＝３^２＋２^２＝９＋４＝１３

　などです。ｍとｎに次々と数字を代入していけば、次々とピタゴラスの数ができますから。

　「ピタゴラスの数は無限にある。」ことが分かります。

　

◎数学者（数学屋）はこれでは満足しない。

　

　私見では、数学者とは数学の大小新理論や定理を発見や証明する人。主に大学や大学院で教授している。また数学屋とは数学の大小新理論や定理を理解したり出来なかったりするが、理解したことを教えている。主に小中高校で棲息している人、です。私はもちろん数学屋。

　さて、数学者（屋）は上の式�A　Ｘ^２＋Ｙ^２＝Ｚ^２ やピタゴラスの数では満足しません。これで満足するようじゃあ数学者（屋）とは云えない。じゃあどう考えるか

　式�Aの指数２が３や、４だったらどうなるか？　つまり

　Ｘ^３＋Ｙ^３＝Ｚ^３ や Ｘ^４＋Ｙ^４＝Ｚ^４ に整数解の組（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はあるだろうか？

いよいよ、フェルマーの予想の始まり始まり．．．．　

　

◎ディオファントスの余白に。

　

　紀元２５０年頃アレクサンドリアにディオファントスという数学者がいました。彼は算術について色々研究しました。その中には「４平方の定理」（裏の注１参照）などがあります。また彼の墓には、方程式の文章題が書かれています。（裏の注２参照）

　ディオファントスは「算術」という本を書き、そのラテン語の訳本が１３００年以上の時を経てピエール・ド・フェルマー（１６０１〜１６６５）の手に渡りました。

　フェルマーの本職は法律家で、余暇の気晴らし（！）は数学の本を読むことでした。彼は古代ギリシアの数学の本を読んでは、本の余白に自分の思いついたことを書き込む癖がありました。今日でもフェルマーの小定理など、色々残っています。１６３７年頃、フェルマーはディオファントスの「算術」の余白に、ラテン語で次のように書きつけました。

　

　「他方、１つの立法数（Ｚ^３）を２つの立法数に（Ｘ^３とＹ^３）、また１つの二重平方数を２つの二重平方数に、さらに一般に、平方数を除くいかなる乗数も同一のべき乗数を持つ２つのべき乗数に分かつことはできない。私はこのことの驚くべき証明を発見したが、それここに書くには余白はあまりに狭すぎる。」

　

　これが、フェルマーの最終定理（Fermat's Last Theorem 略してＦＬＴ）またはフェルマーの予想と呼ばれているもので、式で表せば左の枠内の様になります。フェルマーは、本当に、証明を発見したのでしょうか。

　彼が書き残さなかった証明を、後生の人は再現しようと必死になりました。

　まず、ｎ＝３と５の場合をオイラーとディリクレ（１８２８年）が、ｎ＝４の場合はフェルマー自身によって、ｎ＝７の場合はルベーク（１８４０年）が証明しました。

　

◎次々登場する数学者

　

　ソフィー・ジェルマン（１７７６〜１８３１）は３£ｎ£１００の素数で、ある条件を満たす場合を証明しました。第８，９号に登場したコワレフスカヤやネーターより１世紀前に活躍した彼女は、男名でガウスと文通し、大きく評価されました。後に女性と分かって、ガウスはとても驚いたと言われます。

　彼女の大きな前進の後、フランスアカデミーはＦＬＴの完全証明者に金メダルと３０００フランを与えると発表しました。ある人がガウスに天文台長としての彼の給料を大きく上回るこの懸賞に応募したらどうかと勧めましたが、彼は「この問題には何の興味もない」と答えました。　慎重居士ガウスはＦＬＴの真の困難さを知っていたのかも知れません。

　１８４７年ガブリエル・ラメとコーシーが整数を複素数にまで拡張した素因数分解の一意性（裏の注３参照）を用いて、ＦＬＴを証明した発表しました。ところがエルンスト・クンマー（１８１０〜１８９３）が、整数を複素数にまで拡張した場合、素因数分解の一意性は成り立たないことを示し、ラメとコーシーの証明はおじゃんになりました。クンマーは複素数まで拡張した素因数分解の一意性が成り立つ理想数というものを考えました。それがやがて、デデキント（１８３１〜１９１６）のイデアル（裏の注４参照）につながることになります。

　

◎谷山＝志村予想

　

　時は下って１９５５年９月。所は日本の東京＆日光で代数的整数論シンポジウムが開かれました。ここで大学院生の谷山豊（１９２７〜１９５８）はある重要な予想をアンドレ・ヴェイユ等と話題にしました。谷山はヴェイユからのアメリカのプリンストン高等研究所への招待に応じ、１０月には婚約。しかしなぜか１１月１７日に自殺したのでした。彼は日本のガロアとも呼ばれています。この後、親友の志村五郎（１９３０〜）は谷山の予想を現在、谷山＝志村予想（裏の注５参照）と呼ばれる問題に完成しました。

　

◎仕上げはワイルス゛

　

　アンドリュー・ワイルズ（１９５３〜）は１０才の頃、彼の祖国イギリスの公立図書館で数学の本を読み、そこでＦＬＴを知りました。いずれ大きくなったら、フェルマーの失われた証明を自分が発見してやろうと決心しました。しかし、忙しさに紛れて関心は他に移っていきました。

　１９８３年ファルティンクスはモーデル予想を証明、その結果を用いて、グランブィユとヒース＝ブラウンが、ＦＬＴが成り立たないｎがあるとしても、その割合は、ｎが大きくなるにしたが非常に減少することを示しました。

　１９８４年ゲアハルト・フライは、「フェルマーの方程式Ｘ^ｎ＋Ｙ^ｎ＝Ｚ^ｎ を満たす整数解の組（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が（それはグランブィユとブラウンの結果から、もしあっても非常に少ないのであるが）もしあるとすれば、その解（Ｘ，Ｙ，Ｚ）から生まれる楕円曲線（フライ曲線）はモジュライ形式ではない」というフライの予想を発表しました。１９８６年ケン・リベットはフライの予想を証明しました。これを聞いたワイルズは子供のころの夢を思い出しました。

　

「ＦＬＴが証明できるかも知れない！！　谷山＝志村予想を証明すれば良い！！」

　

　これはどういうことかというと、一種の背理法です。つまり、

　フライとリベットの結果�B

　「もし、ＦＬＴが正しくないならば、モジュライ形式でない楕円曲線が存在する。」

　谷山＝志村予想�C

　「すべての楕円曲線は、例外なくモジュライ形式である。」

　だから、谷山＝志村予想�Cが正しければ、「ＦＬＴが正しくない」と矛盾し、だからＦＬＴは正しくなるしかない、というわけです。

　

　ワイルズは燃えました。他の研究をすべて放り出し、屋根裏の勉強部屋に引きこもり、数年が

たちました。ついに彼は確かな感触をつかみました。

　１９９３年６月、ワイルズはイギリスへ飛びました。２０年前のケンブリッジ大学での彼の恩師ジョン・コーツが、１時間程度の話をしてくれないか、という依頼すると、いつも寡黙なワイルズがめずらしく３時間の講演時間をくれないか、と聞き返しました。

　ケンブリッジでの講演は３日続きました。初めは少数で静かだった聴衆も「これは何かある」と思い始め、３日目になるとワイルズは、人をかき分けなければ演壇に立てないほどでした。

　１９９３年６月２３日。講演の最後にワイルズは語りました。

「というわけで、谷山＝志村予想は証明され、このことからＦＬＴが証明されます。」聴衆はいっせいに賞賛の声を挙げ、フラッシュがたかれ、世界中のファックスがニュースを伝えました。ところがこれはフィナーレではありませんでした。

　ワイルズの証明は、世界中の数学者の確認作業を受けました。まもなく親友ニック・カッツを始め多くの数学者から、一つのしかし致命的な欠陥が指摘されました。

　再びワイルズの苦闘が始まりました。瞬く間に１年がすぎました。やがて彼は、日本の数学者、岩沢健吉（１９１７〜）の岩沢理論を使うことを思いつきました。

　

　１９９５年５月ワイルズは、最後に協力したリチャード・テイラーとの修正共同論文を発表し、＜数学年報＞に掲載されました。ここに、ＦＬＴ（フェルマーの予想）は安らかな眠りにつきました。デイォファントスへの書き込みから３６０年たっていました。いや、ピタゴラスから数えれば、２５００年ぶりのことでした。

　

（これで「エヴァリスト」全巻の終わりです。１年間のご愛読ありがとうございました。）

　

　

注１）４平方の定理

　すべての自然数ｎはある整数の組ａ，ｂ，ｃ，ｄによって、ｎ＝ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２＋ｄ^２と表すことができる。ディオファントスが考えて、ラグランジェが１７７２年に証明した。

　

注２）ディオファントスの墓碑銘

　彼（ディオファントス）は、一生の６分の１を少年としてすごし、その後１２分の１以降はあごひげをはやしていた。さらに７分の１をへて結婚式を挙げ、５年後に息子をもうけた。ところがこの愛しいが不幸な子供は冷酷な運命の女神に連れ去られ、享年（死んだ年）は父の２分の１でしかなかった。彼（ディオファントス）は、生涯の残りの４年間を悲しみをいやしながら過ごした。さて、彼は、何年生きただろうか。

　

注３）素因数分解の一意性

　整数を、素数に分解するとは、たとえば

　　３６０＝２^３×３^２×５

　のように、３６０を素数２，３，５の何乗かの積に分解するこという。

　このとき、素数の小さい順に書くとすれば、３６０の素因数分解の方法

　はこの１通りしかない。これを素因数分解の一意性という。所が複素数

　にまで因数分解を拡張すると、この一意性が成り立たないことをクンマ

　ーは発見した。

　

注４）理想数とイデアル

　昔、植木等の「何である。アイデアル。」というカサのＣＭがあった。

　アイデアルは英語でideal＝理想の意味だが、それがドイツ語になると

　イデアル Ｉｄｅａｌ となる。なお、クンマーはドイツ人。

　

注５）谷山＝志村予想

　ｙ^２＝ａｘ^３＋ｂｘ^２＋ｃｘ＋ｄ で表される曲線を楕円曲線という。

　谷山＝志村予想とは「すべての楕円曲線はモジュライ形式である。」というもの。

　モジュライとは何じゃい？と聞かれても、実は私には？？である。アンリ・ポアンカレ（１８５４〜１９１２）が創設した。書庫にある岩波講座「現代数学の発展：モジュライ理論１」をめくって見たが、やはり？？？だった。まあここでは一応、「sinθや　cosθなど周期関数の、ある理想の形」としておいて、モジュライ形式の研究は老後の楽しみにとっておこう。