傾き mで、点（p,q）を通る直線の方程式は
y=m(x-p)+q

これは「公式」です。高校数学では数�Uの図形と式で学習します。

簡単に証明しておくと、
求める直線を y=mx+n とする。
この直線が（p,q）を通るので、
q=mp+n ∴ n=-mp+q
これを代入して
y=mx-mp+q=m(x-p)+q

qを移項すれば そのテキストに乗っている形 y-q=m(x-p)
になりますが、y=m(x-p)+q の形で使う方がより実践的です。

＞ｙ座標の差　＝　(傾き) ＊ (ｘ座標の差)
なのですか・・・？？？

傾き＝（y座標の増加量）/（x座標の増加量）です。
というかこれが傾きの定義ですね。

極大値をとるときのxの値をα、極小値をとるときのxの値をβとします。
ここで三次関数のグラフの形を考えると、α < β となります。

ところで、このα、βは f'(x)=0 の解ですよね。
という事で方程式は 6x^{2} - 6x + 4a = 0 となり、解と係数の関係より、
　α + β = 1
　αβ = frac{2a}{3}
　α - β = -frac{sqrt{9-24a}}{3}
という３つの式が出てきます。
３つ目はあまり一般的ではありませんが、すぐに求まると思います。


ここからが本題ですが、極大値と極小値の差が27になるということから以下のような式が立ちます。
f(α) - f(β) = 27

因数分解がうまくできないと書かれているのでここまでは出来たのでしょうか？
ここからの計算ですが、上記の解と係数の関係がうまく使えるように整理していきます。

左辺 = (2α^{3} - 3α^{2} + 4aα + b) - (2β^{3} - 3β^{2} + 4aβ + b)
= 2(α^{3} - β^{3}) - 3(α^{2} - β^{2}) + 4a(α - β)
= 2(α - β)(α^{2} + αβ + β^{2}) - 3(α + β)(α - β) + 4a(α - β)
= 2(α - β)((α + β)^{2} - αβ) - 3(α + β)(α - β) + 4a(α - β)
= (α - β)(2(α + β)^{2} - 2αβ - 3(α + β) + 4a)

これで α + β、αβ、α - β だけになりました。
という事で始めの方に書いた式を代入します。

= (-frac{sqrt{9-24a}}{3})(2 - frac{4a}{3} - 3 + 4a)
= (-frac{sqrt{9-24a}}{3})(frac{8a}{3} - 1)
= frac{sqrt{9-24a}}{3}(1 - frac{8a}{3})
= frac{sqrt{3(3-8a)^{3}}}{9}

これで左辺が整理出来ました。
後は等式に戻して解くだけです。

frac{sqrt{3(3-8a)^{3}}}{9} = 27
sqrt{3(3-8a)^{3}} = 3^{5}
3(3-8a)^{3} = 3^{10}
(3-8a)^{3} = 3^{9}
3-8a = 3^{3}
a = -3


というのがわたくしの解き方です。
他にも解き方はありますが一番楽なような気がします。

(ii)だけですが、これが分かれば(iii)はできますよね？

どうもありがとうございます。
解と係数の関係を使えばよかったのですね、気が付きませんでした。
(iii)の方はなんとか頑張ってみます。

りょうさん、お久しぶりです。
３次関数　f(x)　の問題は、f'(x)=0　が２次方程式になりますので、
判別式や、解と係数の関係、解の配置（２次方程式の２つの解が共に１以上・・等）等の２次方程式の重要問題と融合します。

ご質問の極値の差に関する問題は当ＨＰの重要問題の解説にＵＰしてありますので、下もご参考下さい。

http://www.jttk.zaq.ne.jp/alp/plusalpha/suu2biseki/sekibun4-1.htm

とりあえず
x^3 + 2 x^2 - 4 x + k = (x-α) (x-Β) (x-γ)
の右辺を展開してみましょう。
そして、係数を比較してうまく
k もしくは γ についての方程式を立ててやればできます。
ただし、最初に求めた k の範囲に注意しましょう。

γについての方程式を立てたら、
γ=-2−α＋1／α
γ=-3/（α-1/α）
のなったんです。ちなみにγ＝ｋ
で、上の式を連立させたらα^4+2α^3-5α^2-2α+1=0
という式がでてきたんですけど、因数定理を使ってもαにうまくおさまる数字がでてこないんです。どうしたらよいですか？

Ｋａｉｓｅｒさんの回答から、
(x-α)(x-β)(x-γ)を展開して係数を比較すると、

α＋β＋γ＝−２　…�@
αβ+βγ＋γα＝−４　…�A
αβγ＝−ｋ　…�B
が得られたと思います。
これは、３次方程式の解と係数の関係と呼ばれるものです。ご存知でなければ、参考書等で調べてみて下さい。

αβ＝−１　から、βを消去したから、はまってしまったんです。
（対称式の問題に慣れると、βの消去は不自然だという感覚が見に付きます）

�@　から、α＋β＝−γー２　…�C
�A　から、αβ＋γ（α＋β）＝−４　…�D
αβ＝−１と�Cを�Dに代入すれば、γは求まります。

どうもありがとうございました。頑張ってみます。

こんにちは。

まずはどんな箱になるのか、から考えていきます。

横　16-2x　奥行き　10-2x　高さ　x　　となる箱ですね。
よって式は　F(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x^{3}-52x^{2}+160x　と置けます。

ここで一度、微分とはどんなものなのか考えてみましょう。
元の式F(x)を微分して得られるf(x)はF(x)の増加又は減少しようとする大きさ・速さの事です。（厳密な定義云々は置いておいて）
f(x)が負の値を取るXの前後ではF(x)は減少します。増加の時も同様です。
｢つまりf(x)が増えて増えて増えて…今まさに負に変わろうとする瞬間。その瞬間がF(x)の最大値となります。」←重要

では、本題に入り　F(x)を微分してみましょう。
f(x)=12x^{2}-104x+160=4(3x-20)(x-2)
よってf(x)>0となるのは x<2, x>20/3

これが意味する所は上で書いた様に　x<2,x>20/3 の範囲でF(x)が「増加する事」です。
混乱してくるかもしれませんが、文章と式をよく辿ってください。
ここでF(x)を書くならX軸マイナスの方向からx=2までｸﾞﾝｸﾞﾝと増加し、それ以降はﾄﾞﾝﾄﾞﾝ減少して行き、x=20/3になるとまた上を向きｸﾞﾝｸﾞﾝ増加します。
それ以降は？当然、無限の彼方まで大きくなります。

だったらｘの値はでかければいいじゃない？違います。ここではxの取りうる定義域が存在します。
10-2xが0になってしまったら箱は作れませんね？
つまりxの取りうる範囲は　0<x<5　です。
この範囲の中でF(x)の最大値を求めろ。そうこの問題は言ってるわけですね。

ではこのxの定義域を考慮に入れながら、またf(x)の話に戻るとxが0→2まではｸﾞﾝｸﾞﾝと増加していき、その後は2→5でﾄﾞﾝﾄﾞﾝ小さくなります。（これ以降は考慮に入れなくていい）
x=5までﾄﾞﾝﾄﾞﾝ小さくなるということは必ずx=5でF(5)=0になるということです。
この時点ではまだ計算していませんが断言できます。試しに計算してみましょう。
F(5)=4×125-52×25+160×5＝0　ほら、なりました。

だんだん、イメージが付いてきましたか？
恐らく、この時点で答えは分かっているのではないでしょうか。
そうです、答えはx=2の時に最大のF(x)を取ります。
もう一度いいます。0→2までｸﾞﾝｸﾞﾝ大きくなりその後はﾄﾞﾝﾄﾞﾝ小さくなりx=5で0になる。
はい、これで解けましたね^^

微分係数？なんだ、それは？？なんて、私も一年前は悩んでしまいました。
イメージが大切なので一度これを読んで理解できなかったらグラフを書き、式を一緒に辿り、言葉を何度も追ってみてください。

最後にして最大の宿題は「F(x)のグラフを書き上げること」です。これを行って初めて完全な理解が得られます。
勿論、形は正確でなくてもいいです。ここでは増えてて、そしてここでは減ってるっていうのが一目でわかれば十分なので。

長々となってしまってｽｲﾏｾﾝm(_ _)m　伝わるモノが合ったら嬉しい限りです^^

どうも解答を書いてくれた名無しさんありがとうごさいます。
私は今テスト週間なのでこの解答を参考に数学を勉強したいと思います。