まなみさん，こんばんわ。池田先生もいつかおっしゃっていたように，
2次関数・2次方程式は，最初は難しく感じるかも知れませんが，高校数学の土台ですから，学校の授業・参考書・問題集でシッカリと理解しましょう。
この掲示板も大いに利用して下さいね。

x^{2}+ax+3a=0 …�@　が解をもつ条件は
判別式 D=a^{2}-12a=a(a-12)≧0 を解いて
　a≦0 または a≧12

x^{2}-ax+a^{2}-1=0 …�A　が解をもつ条件は
　　　D=a^{2}-4(a^{2}-1)=-3a^{2}+4≧0 を　
　　　a^{2}≦4/3 と変形してから解いて
　　-2√3/3 ≦a≦2√3/3

ここまでは良いかと思います。この結果を数直線に表してみます。

�@が解をもつ　――――――――┐　　　　　　　　　　　　　　┌―――
�Aが解をもつ　　　　　　　┌―――＋―――――┐　　　　　｜　
　　　　　　　　　　　　　ア　｜　イ　 　｜　　ウ　　　　｜　エ　 　｜　オ　　
　　　　　　　　 　――――┴―――┴―――――┴―――┴―――→ a
　　　　　　　　　　　　-2√3/3 　　　　 0　　　　　2√3/3　　　　　12

上の数直線の領域 ア　では，�@の方程式だけが解を持ちます。
領域 イ では，�@も�Aも解をもちます。
領域 エ では，�@も�Aも解をもちません。
（このあたり解からなければ，再度質問してください）

このように上の数直線を読みとって考えてみてください。
答は次のようになります。
(1) -2√3/3≦a≦0
(2) a≦2√3/3 または a≧12
(3) 2√3/3<a<12

数直線を書けばすぐわかっちゃう問題だったんですね。

詳しい説明ありがとうございます！

K〜Y さん、こんばんわ。
学校の数学の宿題は多いですか？ 全く出さない学校もあるみたいですよ。

x^{4}+(c+1)x^{2}+2-c^{2}=0　
x^{2}=t とすると、
t^{2}+(c+1)t+2-c^{2}=0 が異なる２つの正の解を持てば良いんですが、ここまでは宜しいでしょうか？

この後なんですが、2次方程式の解と係数の関係は知ってますか？

知ってますよ。

それなら、解と係数の関係を使った解法で説明します。
t^{2}+(c+1)t+2-c^{2}=0 の２つの解をα、β とします。
αもβも正だから、
α＋β>0
αβ>0
これらに解と係数の関係を代入して c の範囲を求めます。
ただし、注意として、解と係数の関係は虚数解でも成立するので、
上記２つの条件に加えて、実数解を持つこと、
すなわち、判別式＞０ が必要になります。

すみません。返信が遅れました。
どうもありがとうございましたー！

ようするに
y=x^2-3kx+k+2
がx軸と交わる条件(接するのではだめ）を求めればよいです。
つまり判別式>0ですね。

なるほどそういうことだったんすね。ありがとうございました。

斎藤さん、Prime（132）さん、はじめまして。
ななしさん、お世話になっています。

高校生から寄せられた疑問を、高校生が互いに教え合うというのも、この掲示板の理想の姿の一つです。
（Prime(132)さんは高校生かはわかりませんが･･）
ちょっと感動しています。

文字の入った２次不等式の問題は、２次関数（放物線）の問題に直すと解りやすいです。
ax^{2}-2x+a>0　が解を持つということは、
放物線　y=ax^{2}-2x+a　上の点で　ｙ座標が正となるところがあれば良い、
つまり、グラフが一部でも　ｘ軸の上に存在すれば良いということです。

========================
(x-1)(x-2)>0　の解は　x<1　、x>2　ですが
放物線　y=(x-1)(x-2)　　のグラフの、x<1、x>2　の部分がｘ軸の上に存在するということでしたね。
========================

今の問題は、x^{2}係数に文字が使われてますから、上に凸か下に凸かの場合分けが必要です。
（イ）a>0　（下に凸）の場合
　この場合はｘ軸と交わろうが、接しようが、交わらない場合であろうが、必ず　
　ｘ軸の上にくる部分は存在します、つまり与えられた不等式は必ず解を持ちます。
（ロ）a<0（上に凸の場合）
　ｘ軸と交わるときは、山の部分がｘ軸の上に顔を出しますから、解を持ちます。
　ｘ軸と交わる条件は、Ｄ＞０でした。
　Ｄ'＝4-4a^{2}>0
これを解いて、-1<a<1　ですが、今は　a<0　のときを考えているので、
　-1<a<0　です。
　x軸と交わらない場合は、グラフ全体がｘ軸の下に存在しますから、正の部分はありません。つまり、与えられた不等式は解を持ちません。
　x軸と接するときも同様に、グラフでｙ座標が正になるところはありません。
（ハ）a=0　のとき
　このとき与えられた不等式は　-2x>0　となり、解くと　x<0　となりますから、不等式は解をもつということですね。

（イ）（ロ）（ハ）より、答は　a>-1　です。

ピアノの弾きすぎで手を傷めた池田です。（何をやってるんだか……）

-x^2+kx+k<0 が全ての x で成立しているということが言いたいのですから、
ここで y=-x^2+kx+k とおいて、図を描いて考えてみましょう。
この放物線は上に凸なのですから、

「全ての x について y<0 ということは、y=0 となる x が存在しない」

ということです。つまり、

「-x^2+kx+k=0 が（実数）解をもたない」

ということです。ですから、２次方程式の解をもつための条件（判別式）を使えば
　　　k^2-4(-1)k<0
　　　k(k+4)<0
　　　-4<k<0
となります。

> 私は何度やっても0<x<4という答えになってしまうんです。

というのは、恐らく
　　　k^2-4(-1)k<0
の計算の所で、本来２回マイナスが出る所をどちらか１つだけにしてしまったのかも知れませんね。

よくよく自分の解答みたら御指摘の通り、やっぱり符号間違いでした＾＾；
でも二次関数は難しい！
う〜ん…高校数学も難しい！
これからも分からない問題がドシドシ出てくると思いますので、その時は
よろしくお願いします。

ＰＳ
今ピアノはショパンの曲を習っております。
こちらもまた難しいです…。

池田先生，いつも本当にありがとうございます。手は大丈夫ですか？

＞まなみさん
そういうミスを避けるためにも，方程式・不等式の一番先頭に−があるときは，両辺に -1 を掛けて，先頭をプラスにする癖をつけましょう。

今の問題は，
　　　　-x^{2}+kx+k<0
の両辺に -1 を掛けて，（あるいはすべてを右辺に移項すると考えてもいい）
　　　　x^{2}-kx-k>0 の解が，すべての x である。
と，まず問題を直した方がいいと思います。

アドバイス、ありがとうございます。
大変参考になりました。

x≦2　での最小値が　０以上ならば良いと言いかえられるのは良いでしょうか？

なので軸の位置がわからないとうまくいかなそうです。
なぜなら,頂点が範囲にあるかないかで,最小値の値が変わるからですね。
そうすると軸の値で場合わけをして,それぞれの範囲で最小値を求めて,それが０以上とすればこたえです。

早速解いてみることにします。
分かりやすい助言本当に有り難うございました★

まず、否定命題はいいでしょうか？
例えば、(1) の否定命題は
全ての x に対し、f(x) < g(x) でない
ですから、
ある x に対し、f(x) \geq g(x)
となります。
(2) と (4) は否定命題のほうで考えた方がやりやすいと思います。

で、考え方ですが (1) と (2) は
同じ (x) に対して考えていくので
大きい方から小さい方を引いた関数が
-2 \leq x \leq 2 の範囲で常に正になるように
a の条件を求めましょう。

(3) と (4) は違う(かもしれない) x_1 と x_2
での値の比較なので、それぞれのこの範囲における
最大値や最小値を求めて考えてみましょう。

たぶん、まいまいさんで３人目です。

この問題は、“すべて”と“ある”の違いがわかっているか？
が、出題者の意図だと思いますので、否定命題を使わずに、理解することも大切だと思います。

y=f(x)　上の点　(-2,-3)　をＡ、頂点をＢ、(2,6)をＣとします。
y=g(x)　上の点　(-2,a-7)をＤ、頂点をＥ、(2,a+1)をＦとします。
y=g(x)　を上から下に移動させていって、
つぎの９つの場合のグラフを描いて下さい。
�@　ＤがＣよりも上にある。
�A　ＤとＣの高さが同じ。
�B　ＤがＡより高くＣより低い
�C　ＡとＤ、ＣとＦがドッキング
�D　異なる２点で交わる
�E　接する
�F　交わらないがＥはＢよりは上
�G　ＢとＥが同じ高さ
�H　ＥはＢより下

（1）を満たすのは　�@〜�B
（2）を満たすのは　�@〜�D
（3）を満たすのは　�@
（4）を満たすのは　�@〜�F　ですが、解ります？

とても詳しい解説をありがとうございました。

ここでは助っ人、「数学参考書レビュー」の水野です。
＃ 高校と予備校で数学科の講師をしています。

計算間違いしてる可能性もありましたが、方針は出ました。とりあえず、サッカー
が終わったら書きこみますので（コラ！）、しばしお待ちを・・・。

イングランド〜・・・ご、ごほん！・・・では、私の考えた解法を。

与えられた直線と垂直な、y=-(1/a)x+k を考え、放物線と２点で交わり、そのｘ
座標をα，βとします。

１：α，βは異なる実数なので、判別式を考えれば、(1/a)^2+4k>0
２：解と係数の関係より、α+β=-(1/a)、αβ=-k

一方、２交点の中点をとったとき、それは「最初に与えられた直線」上になければ
なりません。中点のｘ座標は(α+β)/2、ｙ座標は(α^2+β^2)/2より、これらを
y=ax+1に代入し、さらに「２：」を使えば、kをaの式で表すことができます。
＃ 私の計算では、k=(1-(1/a)^2)/2

これを「１：」に代入してｋを消去したうえで、ａについて解くと、
「a<-1/√2 または 1/√2<a」と出てきました。

・・・どうでしょうか？？＞新矢先生ほか皆さん

ワールドカップより，ＷＷＦ改めＷＷＥの次回特番でエッジが坊主になるかどうかの方が心配の新矢です。
グァバジュースさん，こんにちは。
水野先生，いつもお世話になっております。

a=0 のときは明かに不適で良いと思います。
グァバジュースさんの方針で解くとすると，
P(α，α^2),Q(β,β^2) として，ＰＱの中点が直線上にあることより，
α^2+β^2=a(α+β)+2 …�@　という式が得られます。
ＰＱの傾きが　-1/a　より，
(α^2-β^2)/(α-β)=α+β=-1/a …�A
対称式の基本変形　α^2+β^2=(α+β)^{2}-2αβ　などより，
αβ＝(1-a^{2})/2a^{2} が得られます。
解と係数の関係の逆より，
α，βは　t^{2}+(1/a)t+(1-a^{2})/2a^{2}=0 の実数解なので，
判別式≧0 より， a<-1/√2 または 1/√2<a
としてみてはどうでしょう。
私は『対称式』が好きなので，授業ではこの解法で説明しています。

>>水野さん、新矢さん
返信ありがとうございます。
とりあえずは、自分の考えの続きでやってみたのですが、
>αβ＝(1-a^{2})/2a^{2} が得られます。
とのことですが、
αβ=1/2a＾2になってしまいます。
どうしてでしょう?
α＾2+β＾2=0となるのでこのはずなのですが、、、

α^2+β^2=a(α+β)+2 …�@　の左辺を変形して
(α+β)^{2}-2αβ=a(α+β)+2
α＋β=-1/a を代入すると
(1/a^2)-2αβ=a・(-1/a)+2=1
これを変形して　αβ=(1-a^{2})/2a^{2} が得られます。

＞α＾2+β＾2=0となるのでこのはずなのですが、、、
　　α＾2+β＾2=0　なら，α＝β＝0　ですよ。

どうやら、考え間違いをしていたようです。。。
最後までたどりつくことができました。
どうもありがとうございました。

また、よろしくおねがいいたします。

　　　┌─────┐
　　　│　　　　　　 　│
┌─┘　　 　　　　　└─┐
│　　　　　　 　　　　　　　│
│　　　　　　　 　　　　　　│
└─┐　　　　　　　 ┌─┘
　　　│　　　 　　　　│
　　　└─────┘

切り取られた後の厚紙は上のような図形になります。
(縦の線がずれていたらコピーしてメモ帳等に貼り付けて下さい。)

まず、切り取られた正方形の辺の長さをxと置くと、
直方体の縦、横、高さ(深さ)はそれぞれ、12-2x(cm)、18-2x(cm)、x(cm) となります。
したがって、式を立てて解いていくと、

(12 - 2x) * (18 - 2x) * x = 160
x(x - 6)(x - 9) = 40
x^3 - 15x^2 + 54x - 40 = 0
(x - 1)(x - 4)(x - 10) = 0
x = 1,4,10

となります。

ここでxの範囲を考えると、三辺の長さが正になるということから、
12 - 2x > 0
18 - 2x > 0
x > 0
となり、これらを解いて、0 < x < 6 となります。

ただし、問題文に深さは2cm以上と書かれてあるのでこれを考慮すると、
2 < x < 6
となります。

したがってこの範囲に当てはまるxは4だけなので、
切り取る正方形の辺の長さは4cmとなります。

解説がとてもわかりやい！ありがとうございました！

グラフをイメージすれば簡単です。
グラフはしたに凸ですから、F(X)＝２Ｘ２乗＋（ａ−２）Ｘ＋３（ａ−５）
とすると、F(-2)＞0、F(0)＜0、F(1)＜0、F(2）＞0です。
判別式は不要です。上で自動的に相違2実解は持ちますから。

返信ありがとうございました。でも、まだ、よくわからないんですが・・・。
Ｆ(−２)＞０とかの部分がわかりません。どこから、Ｆ(−２）の−２などがでてくるんですか？　また、Ｆ(−２)などはどうやったらわかるんですか？
そういう範囲の求め方がいまいちよくわかりません。
何度も何度もすみませんが教えてください☆

グラフは書きましたか？
一つ目のｘ軸との共有点が-2と0の間、2つ目の共有点が1と2の間にあるやつです。
そしたら、さっきの条件が出てきます。
F(X)＝２Ｘ２乗＋（ａ−２）Ｘ＋３（ａ−５）とおいたわけですから、
代入すればいいだけです。
文面から分かりますが、「〜の範囲を求めよ」という型の一般的な解法が知りたい
と思っておられるようですが、何にも適用できる”スーパー解法”といったものは
存在しません。
2次関数でいうならば、グラフと同値な式を挙げると
「軸条件、解の存在条件、F（ｘ）の定点における正・負」
の式に収まるということです。
1つ1つ扱っていけば出来るようになります。
この問題ではおそらく、軸条件、解の存在条件は不要です。
なぜなら、F(-2)＞0、F(0)＜0、F(1)＜0、F(2）＞0
の条件を満たせば、グラフは自動的に決まってしまいますから。

グラフを書いてやってみました。代入してそのでたものを直線に書き込んで範囲をだしました。答えは３＜ａ＜５、11/5＜ａ＜15/4　とでました。
あってるかなぁ？　笑　　納得して問題をとくことができました！！
ＮＡＭＡＺＵさん､何回もありがとうございました♪

裕美子さん、頑張ってますね。
NAMAZUさん、回答ありがとうございます。
特にNAMAZUさんには、ここ数日間お世話になりっぱなしで、たいへん感謝しております。ありがとうございます。

＞裕美子さん
非常に惜しいです。（８５点かな）

-2<α<0　から、3<a<5　という条件がでたのですよね。

また、1<β<2　から　11/5<a<15/4
という条件が求まりました。

問題の意味は、-2<α<0　と　1<β<2　を同時に満たす　a　の範囲を求めよということなんです。
あと１５点分、考えてみましょう。

問題の意味はαとβが同時に満たすっていうことだったんですか・・・。
そうですよね！！αだけってことはあんまりないですよね・・・。照
よく読みます。ということは、直線を書いて重なるところってことですよね？
となると・・・３＜ａ＜１５/４・・・ですか？
はあっ・・また間違ってるかもしんない。泣
新矢先生寝てないんじゃないんですか？返信時間とか見ると三時とかですし・・・。身体には気をつけてください♪青汁飲むといいですよ笑

あってますよ！
数学がんばってくださいね。
今は難しいと思っているものでも、慣れれば計算問題のように
機械的に扱えるようになります。
試しに、中学の連立方程式、比例の関数などを思い浮かべてください。
昔は難しかったけど、今はなんでもないですよね。
それは裕美子さんが急に賢くなったわけではなく、切り口を
見つける方法を身に付けたということです。
1つ1つこなしていけば、いつか今やっていることも
簡単なものに思えるでしょう。
そのときを期待して、今は一生懸命に頑張ってください。
新矢先生、こちらこそよろしくお願いします。

ＮＡＭＡＺＵさんありがとうございます。問題をたくさん解いた分みにつくんですよね？今はすっごいやだしホントにつらいですけど、将来のために？？がんばります。ＮＡＭＡＺＵさんもがんばってくださいな♪

まず，α＜βとしておきます。
k=0の時はα＜０，β＞０なので，αβ＜０になりますね？

そこで k≠0 のときを考えるんですが，この場合だと，α，βの位置がよく分からないので，グラフを-k平行移動（つまり，kをy軸にする）しましょう。

そうすると，α→α-k , β→β-k となりますね？
今はkがy軸なので(α-k)(β-k)<0となります。

もう一つの考え方があります。元の式を展開すると，
　αβ-(α＋β)k+k^2<0
となります。ここで解と係数の関係を利用して，
　c/a+b/a*k+k^2<0
となりますね？
ここで両辺にaをかけますが，aの正負で場合分けをしましょう。
i)a>0
　k^2+bk+c<0
上の式は，元の方程式にx=kを入れたものになりますね？それがマイナスの数字になると言うことは，kは二つの解の間にあることになりませんか？グラフを書いて確かめてみてください。

＞k≠0 の時、(α-k)(β-k)<0 でも、Dは常に正となるのでしょうか？

上の関係を見ると，a>0なので，グラフは下に凸，x=kの値が負なら必ず頂点は負になりますよね？なのでＤは常に正になります。
a<0の場合も考えてみてください。

お手数をかけて申し訳ありません。
ありがとうございました。

（２ｘ＋６）/ （ｘ^２＋２ｘ＋２）＝ｋ　と置きます。
そうすると，ｋの最大値・最小値が分かればいいことになりますよね？
ここで，両辺に分母を掛けます。すると
（２ｘ＋６）＝ｋ＊（ｘ^２＋２ｘ＋２）
となります。

これをｘについて整理すれば，ｘについての２次方程式が出てきます。
ｋはもちろん実数じゃないといけないのでここで判別式を取って
Ｄ≧０とすればｋの範囲が求められて，ｙの最大値と最小値が求められます。

相加相乗でも，場合分けをすれば解けますが，かなり面倒です。
この場合は，実数解条件を利用するのが良いでしょう。

☆　k=0　のとき
は、２次方程式になりませんので、判別式D（解の公式のルートの中）は利用できません。
今の問題では、k=0　のとき、x=-3　です。
この意味は、関数　ｙ＝（２ｘ＋６）/ （ｘ^２＋２ｘ＋２）
は、x=-3　のとき、y=0　をとるということです。
しかし、y=0　は、D≧0　から求めたｙの範囲に含まれていますので、y=0　は最大でも最小でもありませんね。

○しゅんさん
＃ 問題文は、「ｘ＞０をみたす実数とする」だと思いますが・・・

・・・非常に難しい問題＆質問です。ですが、ここを理解すれば、以降がずっ
と楽になりますから、がんばりましょう。この問題でポイントとなるのは、

＊＊＊ ｔの値が何かに決まったとき、対応するｘとｙの値が定まるかどうか

です。たとえば、ｔ＝０とかを入れてみましょう。その条件で、対応するｘと
ｙの値が定まるかどうかをやってみます。

＝＝＝＝＝
いっぺんに考えるのは難しいんで、先にｘの値が何かに決まったとします。こ
こで、ｘ＋ｙ＝０（←ｔの値がここにくる）ですから、
＃ 先にｘの値が何かに決まったとしたら！！
ｙはｘの符号を逆にしたものに「絶対なるはず」ですよね！・・・

・・・ｙ＝０−ｘ（あとあと分かりやすいように、ｔの値の部分もそのまま書
き込んでみた）とは、そういう意味です。あとは、「そこにはそれが入るはず
なんだ」ということで、もとの式にｙ＝０−ｘも入れてしまって、

ｘ＾２＋（０−ｘ）＾２＝１

をｘの方程式だと思って、解いてみればいいんです。ｘ＝±・・・と出てくる
でしょう。ここに、

＊＊＊ ｘ＞０を満たすものが１つある

ので、ｘはこの値、ｙはそれにマイナスを付けたものということになります。

＝＝＝＝＝

・・・これが元の問題でどういう意味を持つかということですが、「ｔ＝０に
したら、対応するｘとｙの値が求まった」ということは、ｔ＝０が条件を満た
す、つまり、

＊＊＊ 求めるべき範囲に入る

ということになるのです。

・・・念のため、ｔ＝３も入れて、やってみてください。問題集の解答は（こ
れに限らず同じタイプの問題ではすべて）、それを一般化する形で、答案にし
ているわけなんです。