またもや助っ人の池田です（笑）
実は私はピアノが趣味ですので、レッスン室という言葉に敏感なんですよ (^^;

とりあえず x と y の２つの文字があってややこしいのを、
１つの文字（たとえば x だけ）にしてみたらわかりやすいでしょう。
このとき、y≧0 や x^2+y^2-xy はどうなるでしょうか？

x+y=4 の両辺から x を引けば y=4-x になりますので、
これをそれぞれに代入してみましょう。

・y≧0 は 4-x≧0, つまり x≦4 になります。
・x^2+y^2-xy は、
　　　 x^2+y^2-xy
　　　=x^2+(4-x)^2-x(4-x)
　　　=x^2+x^2-8x+16-4x+x^2
　　　=3x^2-12x+16
　　　=3(x^2-4x)+16
　　　=3(x^2-4x+4)-12+16
　　　=3(x-2)^2+4
　と変形されます。

結局、
「y=3(x-2)^2+4 の 0≦x≦4 の範囲における最大値・最小値を求めよ」
という問題に翻訳されたことになります。
これを解くために、とりあえずグラフを描いてみましょう。
すると、(2,4) を頂点とし、x=0,4 の時に値 0 を取る放物線になります。
ですから、
　　　最大値 4 (x=2), 最小値 0 (x=0,4)
となります。

ロンドンさん、はじめまして。

2次関数の最大・最小は、平方完成（頂点を求める変形）し、グラフで考えることが基本です。
平方完成は宜しいでしょうか？

y=ax^{2}+2ax+b=a(x+1)^{2}-a+b
となります（解らなければ再度質問を）
頂点は(-1,-a+b)　ですね。
さて、グラフを描いて、ｘがいくつのときに最大および最小になるかを考えるんですが、x^{2}　係数が　a　なので、上に凸か、下に凸か解かりません。場合わけが必要です。
高校数学は｢場合わけ｣の学問です。

(イ)　下に凸、つまり　a>0　のとき
頂点のｘ座標は　-1　でした。
-２≦ｘ≦３　の範囲で最大になるのはｘ＝３のときです。
このときｙの値は、y=9a+6a+b=15a+b　になります。この最大値が23ですから、
15a+b=23　…�@　です。
最小は頂点ですから、最小値は　-a+b　ですね。これが　-9　より
-a+b=-9　…�A
�@�Aを解くと、a=2　、　b=-7　となり、場合わけの条件　a>0　を満たしています。

(ロ)上に凸、つまり　a<0　のとき
頂点のｘ座標は　-1　でした。
-２≦ｘ≦３　の範囲で最大になるのは頂点です。
ｙの値は、-a+b　になります。この最大値が23ですから、
-a+b=23　…�@　です。
最小は　x=3　のときですから、最小値は　9a+6a+b=15a+b　ですね。これが　-9　より
15a+b=-9　…�A
�@�Aを解くと、a=-2　、　b=21　となり、場合わけの条件　a<0　を満たしています。
（答）(a,b)=(2,-7),(-2,21)

平方完成ですね。

2次関数で平方完成は習ったんですけど
この問題に使うとは考えられませんでした(泣

新矢さんの解答を元に、再度、解き直してみますね。

お忙しいなか、質問にお答えくださり、ありがとうございました。

＞今から、得意になる方法なんてあったら是非、教えてください。

中学の数学と高校の数学は個人的にかなり違うと考えています。
偏見だと思いますが、中学までは計算力があればある程度の点は取れたと思うんですよ。
高校数学は計算力だけでは何ともなりません。｢考え方｣の理解が何より大切です。

高校数学の大きな柱に｢関数｣があります。
数�Tで“２次関数”数�Uで“三角関数”“指数関数”“対数関数”“３次関数”というのを学習しますが、それら関数の基本は“２次関数”です。
数�Uの○○関数の理解に、２次関数の考え方は欠かせません。２次関数の理解が不充分だと数�Uまで引きずるということです。

高校数学を得意にしたいのなら、この夏休み、学校の宿題以外に自分で参考書・問題集の２次関数の所を徹底的にやりこなし、｢２次関数の問題なら大丈夫｣と自身が持てるようになったら、高校数学は得意になるはずです。

(ア)ｘ geqq 0のとき、|x|=xとなるから、f(x)=x^{2}-4x+k
=(x-2)^{2}+k+4
が間違っています。
(x-2)^{2}+k+4→(x-2)^{2}+k-4です。
つまり、k-4は一致します。
これで解いてみてください。

NAMAZUさんご指摘のミスを訂正して、グラフを描きましょう。
ｙ軸対象のｗ型になるはずです。

ｙ軸との交点の座標ｋや、頂点のｙ座標　ｋ−４　が、ｋの値によって変わりますから、グラフはｋが変わることにより、上下に移動します。

（３）f(x)=0の解が4個
f(x)=0　の解とは、y=f(x)　のグラフとｘ軸の交点のことでしたね。

解説、どうもありがとうございました。

グラフを書いたのですが、(3)の問題のf(x)=0の解がf(x)のグラフとx軸との交点であることは、分かったのですが、それをどのように式に表し、解答を導き出せばよいのか、プロセスが今ひとつ理解できません。

(4)も同様に、グラフでイメージしたのですが、解答を導き出すためのプロセスがわからないです。

◎◎よろしくお願いします◎◎

(3)ですが、私とNAMAZUさんの解法は異なります。
より短時間で解けるのは私の解法ですので、こちらで説明します。
自由の女神を見に行きたいさんには、回答者の解法に統一性がなく、混乱させてしまったかもしれないことを、お詫びします。

y=f(x)　のグラフは描けましたね。ｙ軸対象のｗ型です。
ｙ軸との交点は（0,k）これをＡとします。
谷底を　Ｂ(-2,k-4)　と　Ｃ(2,k-4)　とします。
f(x)=0　の解は、ｘ軸との交点ですから、ｋの値をいろいろ変えてグラフを動かせてみましょう。
例えば、ｋ＝５　のとき、Ｂ（-2,1）Ｃ（2,1）はｘ軸の上にきますから、
f(x)=0　の実数解はありませんね。

例えば、ｋ＝−１のとき、Ａ(0,-1)もＢ(-2,-5)もＣ(2,-5)もｘ軸の下になります。
y=f(x)　のグラフは、ｘ軸と２点で交わっているので、
f(x)=0　は２個の実数解をもちます。

逆に、y=f(x)　のグラフがｘ軸と４点で交わるとき、
Ａ、Ｂ、Ｃがそれぞれ、どこにあれば良いのかを式で表します。
答えは、0<k<4　です。

（４）A(0,k)のｙ座標がｋであることに注意してください。
関数y=f(x)のグラフを直線y=kに関して対称移動したグラフですが、
ｙ軸対象のＭ形ですね。
（Ｍみたいにカクカクしておらず、マクドナルドのｍです。）
Ｂの移動先Ｂ’、Ｃの移動先Ｃ’（ｍ型の２つの山）が最大になるのは解るかと思います。
移動前のＡ(0,k)とB(-2,k-4)のｙ座標の差は４ですから、
移動後のＡ(0,k)　と　Ｂ’のｙ座標の差も４です。
答えは　ｋ＋４　です。

がんばるぞ！さんの出したのは
f(x) の最大値と最小値ですね。
求めるものは f(f(x)) の最大値と最小値なので、
1 \leq f(x) \leq 5
なので、t = f(x) とおくと
f(f(x)) = f(t) 　(1 \leqq t \leqq 5)
ということがわかり、
再び同じ２次関数の問題になります。

ちなみにその略解の最小値のところですが、
x = 1 でも最小になります。

これで、解決しました！！
そうやって解くのか、と感動しています。
いつも、丁寧な解説をありがとうございます。

お中元さん、はじめまして。
お中元って、頂くよりも差し上げる方が多いです。
次世代には残したくない慣習ですね。

２日前に、ロンドンさんの質問のレスにも書いたことなんですが、
数学�Uでは、三角関数、指数関数、対数関数、３次関数というのを学習します。
それら関数の最大最小を求める、というのが高校数学の１つの大きな柱です。
その最大最小問題の１つのパターンとして、
『置き換えて２次関数に直す』という問題があります。

今回お尋ねの問題も４次関数ですよね？
置き換えて２次関数に直します。
t=x^{2}-2x　とすると、
y=t^{2}-6t+4　　と２次関数になりますが、ここで大切なことは

★　何かを　t　と置き換えたら、t　の取りうる値の範囲を調べる

ということです。取りうる値の範囲とは、言葉を変えると、t　の最大最小を調べるということです。

t=x^{2}-2x　　をよーく見てみましょう。t　は x　の２次関数になっていますね。２次関数の最大最小は、平方完成してグラフを描いて調べるのでした。

t=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1
このグラフ（横軸ｘ軸、縦軸ｔ軸）を描いて、ｘの範囲　-２≦ｘ≦２　における最大最小を調べると、
x=1　のとき（頂点）、最小値　t=-1
x=-2　のとき、最大値　t=(-2)^{2}-2(-2)=8
ゆえに　-1≦t≦8　　となります。

あとは、y=t^{2}-6t+4　　の　-1≦t≦8　での最大最小を調べればいいですね。
やはり平方完成です。
y=(t-3)^{2}-5　　としてグラフ（横軸ｔ軸、縦軸ｙ軸）を必ず描いて、考えましょう。
答えは、t=8　つまり　x=-2　のとき、最大値　y=20
t=3　つまり　x=-1　のとき、最小値　y=-5　です。


===========================
最初に書いたように、高校数学の重要な基礎問題ですから、１００％理解しましょう。下の問題もやってみませんか？

【練習】y=(x^{2}-2x+3)^{2}+3x^{2}-6x+10　　（x≧0）の最小値を求めよ。
　　　（答）x=1　のとき、y=11

　　朝からクラブがあったのでレスが遅くなりすみません！
　なるほど、平方完成して tの最大値・最小値を求めるんですね！
　新矢さんが出題してくださった問題解きました！
　　y=(x^2-２x+３)^2+３x^2-６x+１０　　(x≧０)
　　 =(x^2-２x+３)^2+３(x^2-２x)+１０
　　　ここで x^2-２x=t とおくと　　y=(t+３)^2+３t+１０　　となり
　 tの変域は
　　　t=x^2-２x
　　 =(x-１)^2-１　
　　　xの範囲(x≧０)での最大値・最小値は
　　　　最大値はなし
　　　　最小値はx=１のとき-１
　　　　　∴t≧-１
　　　よって　y=t^2+９t+１９　　(t≧-１)での最小値を求めればよい。
　　　　　　　 =(t+９/２)^2-５/４
　　　　　∴t=-１　つまりx=１　のとき最小値１１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となるんですよね？

宿題？まで、解いてくださって、大変嬉しく感じています。
100点満点の解答です（実際の試験では必ずグラフを２つ描いて下さいね）。

解らない問題を“ネット”で解決した！
というのって、人に聞いたり、参考書を調べて解決した以上に『インパクト』がありませんか？
私は、より記憶が定着するんではないかと、密かに期待しているんですけど、どう思われます？

　　ネットで解決したほうが強く印象に残りました！
　　今までは、あいまいにしか記憶できていなく、類題が出題されても完璧には
　　解けなかったのですが、今回このネットで解決した問題と同じような問題が
　　出題されても絶対大丈夫という自信がつきました！
　　これからもわからない所があれば、どんどんネットを活用していきたいと
　　思います！
　　　この夏休みに数Ａの基礎から応用までの復習を無理なくしたいと思っている　　　のですが、なにかオススメの参考書または問題集ってありますか？　　

お中元さん、レス遅れてごめんなさい。

＞この夏休みに数Ａの基礎から応用までの復習を無理なくしたいと思っている　　　のですが、なにかオススメの参考書または問題集ってありますか？　　

私はこのHPでもお世話になっている水野先生主宰の“数学参考書レビュー大会”
に参加させていただいたのですが、高校１年生からの日常学習用の参考書としては、東京書籍の“ニューアクションβ”　が最もいいかなと思っています。

高校数学参考書のことなら、水野先生のHPがお奨めです。このHPのTOPから行けます。

　　レス遅れてすみません！わかりました！さっそく探してきます☆
　　さきほど水野先生のホームページにリンクして、ニューアクションβの
　　紹介を見ました！これなら私にもできそうだと思いました！
　　高校３年の春までに一冊を仕上げたいです☆根気良くチャレンジするので
　　またわからない所がでてきたらそのときはよろしくお願いします！
　　有難うございました！！

f(x)=x^4-2ax^2-a+1
（xのn乗をx^nと記します）
f(x)は見かけ上は四次式ですがx^2=tとおくと
f(x)=t^2-2at-a+1
となるので
g(t)=t^2-2at-a+1 (t≧0)の最小値を求めればよいです。
これは二次式ですから軸が0以上か0より小さいかで場合わけをすればできます。

返信ありがとうございます。
そこで、軸が0以上のときは答えがわかるのですが
軸が0より小さいときの答えがわかりません。
答えを見ると
a＜0のとき　m(a)=-a+1
となっているのですがなんでこの答えになるのかがわかりません。
再びおねがいします

こんにちは。
いやー、やっと試験が終わりました。
エーと、例の件ですが、２次関数は下に凸ですから、
ａ＜０のときには、ｔ＝０のときに最小値になります。
t≧0を忘れないようにしてください。

乱歩さん、はじめまして。
ななしさん、NAMAZUさん、ありがとうございます。
お蔭様で、無事私用（法事）を終えることができました。

＞乱歩さん
このHPの『重要問題の解説』もご参考下さい。

http://www.jttk.zaq.ne.jp/alp/plusalpha/2jikansuu/2jikanitiran.htm

===============================
文字入り２次関数の最大最小は、次のように特に数�Uの関数と融合します。

【例１】y=cos2x-asinx+a　　(0°≦x≦180°)　の最大値を求めよ。

【例２】y=4^{4}+4^{-x}+a(2^{x}+2^{-x})-1　　の最小値を求めよ。
　　
これは、数学が得意になるための、関門のような問題だと思います。
どなたか挑戦してみませんか？

ななしさん　ＮＡＭＡＺＵさん　新矢さん　ありがとうございました！！
やっとわかりました！　ｔ≧０を忘れていました！！
ａ＜０のときには、ｔ＝０のときに最小値になるという所でつまってました。
これからもお手数かけるかもしれませんがよろしくお願いします！

はい、まずf(x)のグラフを描きましたね？
そしたら長さ2の棒をx軸上に置き左右に動かすことをイメージしてみましょう。
その棒の左端をａと置きます。
考察�@
　ずっと←から棒をずらしていきます。
そうすると棒の左端に最大値・右側に最小値が来てますね。
これがａ=0のところまで続きます。
考察�A
　ａ>0ではどんな動きをするでしょうか?
最大値が棒の左端に来るのは変わりませんが、最小値は棒の位置に変わらずｘ=2になるはずです。
そしてこれが続くのはａ<1までのはずです。
なぜならa=1では棒の左端・右端が共に最大値を持ってしまいますから。
考察�B
　考察�Aからａ=1で最大値は左端と右端。最小値は変わらずX=2．
考察�C
　そしてa>1ではどんな動きになりましたか？
今度は最大値が棒の右端になり、最小値はまだX=2ですね。
この形が続くのはa=2までですね。
考察�D
a＞2になるともう分かっている通り、最大値は棒の右端に、最小値は棒の左側ですね。
そしてこれがどこまでもどこまでも続きます。

以上がこのグラフから考察できる事です。あとはあなたが自分で答案として書き上げてみてください。こういったグラフを用いる場合には直接黒板を使って説明したいのですが、如何せんそうもいかないので棒という簡単にイメージできる物を使って書いてみました。これで分かっていただけたか心許ないので、もしまだよく分からないのでしたらもう一度聞いてみてください。

当HPのコンテンツ“重要問題の解説”も参考にしてみて下さい。

http://www.jttk.zaq.ne.jp/alp/plusalpha/2jikansuu/2kan2-1.htm

ありがとうございます！！
おかげでよくわかりました。
棒っていうのは定義域のことですよね？
明日がテストなのでがんばります！！

左様です。定義域の変化に伴うf(x)の動きを丁寧に辿りましょう＾＾

ついにこんな所に住んでしまった、ピアノ大好き人間の池田です。

まずは「２次関数といえば平方完成」ですから、平方完成してみますと、
　　　y=2x^2+ax+a
　　　 =2(x^2+(a/2)x)+a
　　　 =2(x^2+(a/2)x+(a^2)/16)-2×(a^2)/16+a
　　　 =2(x+a/4)^2-(a^2)/8+a
となります。頂点の座標は (-a/4, -(a^2)/8+a) ですね。

「x=1 で最大値を取る」のですから、対称軸の x 座標は 1 以下でなければなりません。
つまり、-a/4≦1 ですから a≧-4 です。まずこれが前提条件。

そして、どこで最小値を取るかは対称軸の位置関係によって変わってきます。
　・もし軸の x 座標が負なら、最小値を取るのは x=0 のとき。
　・もし軸の x 座標が 0 以上 1 以下なら、最小値を取るのは x=-a/4 のとき。
ですから、これらの場合に分けて考えてみましょう。

・-a/4<0（つまり a>0）のとき
　最大値は x=1 のときなので 2+2a,
　最小値は x=0 のときなので a,
　そしてその差が 1 なので
　　　　2+2a-a=1
　　　　a=-1
　となります……が、これでは a>0 に矛盾してしまうのでアウトです。
・0≦-a/4≦1（つまり -4≦a≦0 のとき）
　最大値は x=1 のときなので 2+2a,
　最小値は x=-a/4 のときなので -(a^2)/8+a,
　そしてその差が 1 なので
　　　　2+2a-(-(a^2)/8+a)=1
　　　　(a^2)/8+a+1=0
　　　　a=-4±2√2
　となります。-4≦a≦0 の条件を入れると a=-4+2√2 になります。

以上より a=-4+2√2 となります。
どうですか？ 二次関数の最大・最小に慣れてきましたか？

では、解き方の方針をお教えいたしましょう。
悪魔でもヒントということで・・・。

実際に y の値を、増減表のような表にして書いていったら
わかりやすいのではないでしょうか？
この場合の表は、増減表ではなく、
x , y , max{x^2 , - x + 6} , max{x^2 , 2 x + 3}
の行からなる表で、まず
max{x^2 , - x + 6} , max{x^2 , 2 x + 3}
の行から埋めていきます。
このとき、それぞれ左から右を引いた不等式を
解きながら x の行を埋めていきます。
それができてから y のところを埋めていけば
�@も�Aも両方でますよ。

１つは、y=x^2とy=-x+6のグラフをかきます。
max{x^2,-x+6}は、このグラフで、上の方になる部分を示します。
２つ目もy=x^2とy=2x+3のグラフをかいて、上の方になる部分を選べばいいですね。
y＝min{max{x^2,-x+6},max{x^2,2x+3}}は、これらの２つのグラフを重ねたとき、下にある部分となります。
グラフをかいて、視覚的に考えるとイメージもつくりやすいでしょう。

やっぱ落着いて考えなきゃダメですね〜。ようやくおぼろげながら問題の意味が理解できてきました。なんか記号とか英語とかが出てくると訳わからなくなっちゃって……(-_-;)　２次試験で数学をとることにしたので、今猛勉強中なんです。ワークはほとんどペケです(涙)また質問することになるかとは思いますが、よろしくお願いします♪