まず定義ですけど，
f'(x)=lim_{h->0} (f(x+h)-f(x))/(x-h)
でいいですよね．まず，f(x)=xの1/2乗のときを考えると，
√(x+h)-√xがでてきますけど，これを √(x+h)+√xをかけ算することで有理化するんでしたよね．
1/3乗だと，(^{1/3}は1/3乗という意味です)
(x+h)^{1/3}-x^{1/3}
が出てきてしまって，(x+h)^{1/3}+x^{1/3}を使っても有理化できないので困っているということですかね．

1/2乗の場合には分母と約分するため(x+h)-xを作りたいので，
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
という因数分解公式を意識しながら √(x+h)+√xを考えましたよね．
ここでは a^2-b^2が(x+h)-xに，(a-b)が √(x+h)-√xに相当します．だから相棒として，(a+b)に相当するものが必要な訳です．

1/3乗の場合でも分母と約分したいので，(x+h)-xを作りたいのです．ここで，(a-b)が(x+h)^{1/3}-x^{1/3}に相当するわけですから，(x+h)-xはa^3-b^3ですね．とすると
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
を思い出しませんか？

ありがとうございました。
納得です♪

miyukiさん、こんばんわ。

�@定義域はすべての実数です。
y=x^(2/3)=sqrt[3]{x^2}
つまりx^2 の３乗根ですから、例えば x=-1 のときも y=1 と値が存在します。

�A y=x^(2/3) を微分すると、
y'=(2/3)x^{-(1/3)}
だから x=0 は y'=0 の解でないのか？ と思うかもしれませんが、
０の -1/3 乗は０ ではありません。
x^{-(1/3)}=1/(x^{1/3}) ← xの1/3乗分の１
と直してから、0 を代入して、1/0 で値なしと考えます。

この辺が教科書のいい加減なところで、数�Uで a^{-r} や a^{n/m} が使えるのは、底 a>0 のときに限ると書いてあるのに、数�Vでは
x^{-(1/3)}=1/(x^{1/3}) になるのは当たり前のように変形してます。
x<0 のときはどう考えるのか厳密に記述してある本は少ないのではないでしょうか？
私も詳しいことは解りませんから、計算の仕方だけいうと、分数指数は累乗根に直してから計算します。

この問題に帰ると、
y'=(2/3)x^{-(1/3)}=2/(3 sqrt[3]{x})
まで変形して、y' の符号を考えないといけないのです。
x<0 のとき、y'<0 (←３乗根 -1 は -1 )
x=0 のとき、y'は値なし（極限は無限大）
x>0 のとき、y'>0
となります。

とても良く分かりました。
いつもありがとうございます。

ここでは助っ人の水野です。

基本的には、ｙ＝ｅ＾ｘとｙ＝３ｘのグラフを描いてみて、見当をつけます。

ｘ＝０を代入するのは、ｘに負の値を代入したときにｅ＾ｘは必ず正、３ｘは負に
なるからです。あと、基本的に３ｘよりもｅ＾ｘの方が「急激に」増えていくのは
グラフから何となくわかりますが、どこかでその大小が逆転する「あやしい」とこ
ろはないか？と探すことになるでしょう。今回は、ｌｏｇ３なんて難しい値を代入
しなくても、

ｘ＝０：ｅ＾ｘ＝１＞３ｘ＝０
ｘ＝１：ｅ＾ｘ＝ｅ＜３ｘ＝３
ｘ＝２：ｅ＾ｘ＝＃＞３ｘ＝６（＃は２．７＾２ぐらいの数で、約７．３）

の３箇所から答えをもってくればいいと思うのですが・・・。大小のかわりめのと
ころ、つまりｘ＝０とｘ＝１の間に少なくとも１個、ｘ＝１とｘ＝２の間に少なく
とも１個の実数解をもちます。

いつも分かり易い説明、本当にありがとうございます。
水野先生の考え方でとても納得が行きました。

解説では，f(x)=eのx乗-3x とおき、f(x)のグラフとx軸との共有点
の数を調べようと、増減表を書いて・・という感じで解いているのですが、
先生の様に、eのx乗と3xを分けて考える事で分かりました。

本当にありがとうございました。

「差の関数をつくる」というのは、教科書的王道ではあるのですが、式の形が違う
関数どうしの差になると、かえって難しくなります。王道でいくなら、いっそ極大
値か極小値を求めてしまうのが良いでしょう。おそらく参考書の解説ではそれを
やっているんだと思います。確かめてみてください。

茜さん、はじめまして。

方針はそれでＯＫですよ。どこかで計算間違いをしているのでは？
主要な途中式を確認しましょうか。

ます、Ｐ(t,e^{t})　として。
Ｐにおける法線は
y=-(1/e^{t})(x-t)+e^{t}=-(1/e^{t})x+(t/e^{t})+e^{t}

これに（a,3）を代入して整理すると
3=-(a/e^{t})+(t/e^{t})+e^{t}
(a/e^{t})=(t/e^{t})+e^{t}-3
両辺に　e^{t}　を掛けて
a=t+e^{2t}-3e^{t}
あとは
g(t)=t+e^{2t}-3e^{t}　のグラフを描けばいいと思うのですが…。
ここまではどうですか？

そこまではできました！　ｅ＾{ｘ｝＝1/2　,　1　ですよね？
ただそのあとの増減がいまいちよく分かりません。

g'(t)=(2e^{t}-1)(e^{t}-1)

g'(t)=0　の解は、e^{t}=1/2　から　t=log(1/2)=-log2　と　
e^{t}=1　から　t=0　ですね。
増減は、
t<-log2　で　g'(t)は＋、-log2<t<0　で　g'(t)は−、
t>0　でg'(t)　は＋
ですが、これは、
t<-log2　ということは、e^{t}<1/2　ということですので、
g'(t)　の　e^{t}　に例えば　0　でも代入すれば、＋と判断できると思います。

この問題はグラフを描かねばならないので、
+∞と−∞　の　g(t)　の極限を計算するのを忘れないようにしましょう。

新矢先生、どうもありがとうございました！
-log2<t<0の範囲の増減が間違っていました。正しいと思って解いていると自分のミスに気がつかないものですね（＾＾）これからは色々な発想ができるように頑張ります！

対角線を引くと三角形が４つできますね？
２つは同じ物なので,二つの和の最大値を考えましょう。
三角形の2辺が半径なので,その間の角の変化で最大値を考えてみてはどうでしょうか？

良く良く考えれば単純な事だったんですね。
分からなかった自分が少し悔しいです。
小池さん、分かり易い説明をありがとうございました。

円が関わってくる問題は、どこかをθとすると解決することが多いです。
最もどこをθとするのかが難しいのですが、基本は中心角ですね。

一緒にやってみましょう。
>左辺ひく右辺をｆ（ｘ）とおいて微分してｆ（ｘ）の最小値が０以上になることを証明する

f(x)=x-(log_e{x}+1)とおいて
f'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x
f'(x)=0の解はx=1
　　　0<x<1　で f'(x)<0
　　　x>1で　f'(x)>0
からx>０において、x=1のときf(x)の最小値０
よって、x>0のときx-(log_e{x}+1)≧0
したがって与命題が成り立つ

増減表を書いて確かめてみてください。不明な点があればレスしてください。

なるほど、よくわかりました。ただ普通に増減表を書けばいいんですね。ちょっと難しく考えていたみたいです。ありがとうございました。