茅野さん、こんばんわ。

y=f(x)　のグラフは書けますね。（とんがり山です）
そのグラフに横棒　y=1/2　を書き足してください。
交点のｘ座標は、x=1/4　と　3/4　になりますね。
説明のために　f(x)=t　と置き換えさせてください。
今書いたグラフの縦軸を　t=f(x)　と直してください。

そのグラフから
�@　0≦x≦1/4　のとき、0≦t≦1/2　であることがわかります

ではこのとき　f(f(x))　すなわち　f(t)　はどうなるでしょう？
0≦t≦1/2　なんですから、2-2t　ではなく、2t　の方ですね。
f(f(x))=f(t)=2t=2f(x)
では、f(x)　は　2x　なのか　2-2x　なのかどちらでしょう？
場合わけをもう一度よく見ましょう。
0≦x≦1/4　なのですから、f(x)=2x　の方です。

まとめると、0≦x≦1/4　のとき、f(f(x))=2f(x)=4x　となります。

�A　1/4≦x≦1/2　のとき
グラフから　1/2≦t≦1　です。
今度は　f(t)=2-2t　ですね。
f(f(x))=f(t)=2-2t=2-2f(x)

1/4≦x≦1/2　のときを考えているのですから
f(x)=2x　です。
∴　f(f(x))=2-2f(x)=2-4x

�B　1/2≦x≦3/4　のとき
�C　3/4≦x≦1　のとき
も同じように考えてみて下さい。

つかぬことをお聞きしますが、青チャートは学校で渡されたのですか？
それともご自分で購入されたのでしょうか？

青チャートですが、学校で配付されました。
かなり厚くて重いです…。

＞青チャートですが、学校で配付されました。

学校には同学年に何百人もいますよね。数学が得意な人もいれば、中学内容さえおぼつかない人も中にはいるかもしれません。
当たり前のことですが、個人個人によって自宅での数学の学習の方法は違います。
自分で自習するときに一番頼りになるのは参考書ではないでしょうか？
どの参考書で勉強するかは、一生を左右することにもなりかねない位、重大なことだと思います。
教科書・問題集を統一するのは解りますが、学校は、何故参考書まで統一しようとするのでしょう？
おそらく一塾講師には想像も及ばない、教育理念に裏打ちされた深遠で非の打ち所のない理由があるのでしょう。
どなたか学校の先生に聞いてみてくれませんか？

私がいいたいことは、確かに宿題で学校配布の参考書の問題を解いて提出しないといけないかもしれませんが、
その問題を解くための

★『本当の勉強』用に自分に一番あった参考書で勉強してもらいたいのです。

でも、大きい本屋さんの参考書コーナーへ行くと、数学の参考書だけでも滝のように置かれていますね。
もう一度念を押しますが、大袈裟に言うと、どの参考書を使うかは一生を左右しかねないんですよ。
そのような状況下で、果たして“学校から渡された参考書がその膨大な参考書群の中で実は自分に一番あっている”
という確率はかなり低いであろうことは容易に想像できますね。

“自分でする自分のための本当の勉強”に、そのような膨大な種類の参考書の中から、何を選べばいいのでしょうか？
その選択は、“参考書に詳しい”学習指導者でないと不可能です。
正直白状しますが、私は数学学習指導者ですが、参考書については半年前までは、
『どの本も書いてあることは大して変わらないのとちゃうの？』
と思っておりました。

―――　水野先生に出会うまでは！

水野先生主宰の参考書レビューに参加してからは、そのような考えを持っていたということが恥かしく、また悔やまれてなりません。

参考書は、人間と同じく個性に溢れています。
例えばこの参考書は、国公立文系志望者の１・２年の日常学習用
あの参考書は、センターのみ必要な人が三年の４月に使うためのもの
とかいうように。

ですから、選択を間違えると、勉強していても殆ど無意味、あるいは逆にその本を使うことが有害であることさえ考えられるのです。

○　向学心溢れる高校生の皆さんへ

水野先生のＨＰ（ＴＯＰからリンクしています）をご覧になって、
是非、自分にあった参考書で勉強してください。

1つめについてはお答えします．多分2つめも同じ手で解けると思います（未確認）．

frac{ax+b}{2x+C} = frac{b−frac{ac}{2}}{2(x+frac{C}{2}}+frac{a}{2}

をいきなり思いつくのは先ず無理だと思います．上の等式は右辺を通分することによって正しいと言うことは確認できていますか？ 実際この式変形は正しいです．ではどうやって左辺だけからこんなものを思いつくのか？.....

結論から言うと．1変数多項式の組立除法を適用して上記のような結果が得られます．

frac{ax+b}{2x+C} = (ax+b)÷(2x+C) より，この割り算を組立除法で計算して，
ax+b = (2x+C)(frac{a}{2})+(b-frac{ac}{2}) が得られます．これを変形して，
frac{ax+b}{2x+C} = frac{b-frac{ac}{2}}{2x+C}+frac{a}{2} を得る．
残りの変形はあまりにも簡単なので自分で確認をしてみて下さい．

あるいは，ほぼ同様の意味になりますが，恒等式を解いても得られます．
すなわち，
frac{ax+b}{2x+C} = frac{A}{2x+C}+B , (deg(A)=0,deg(B)=0)
なる恒等式(そもそもこういう置き方をするところに1変数多項式の除算の商と剰余の関係が登場しているわけですが......)を解いても同様の結果が得られます．

いずれにしても1変数多項式の有理関数から，より簡単な型式の有理関数に変形して問題を考えると言うのがポイントになっているようです．そこで1変数多項式の除算においては剰余が必ず割る1変数多項式よりも真に次数が落ちていると言うのが決定的です．それによって式がより解きやすい形へと直るようです．

＞よしみでも分かる説明をお願いします（＞＜）

整式の割り算
例えば、(2x^{3}-3x^{2]+x-1)　÷　(x^{2}+x-1)　はできますか？
1432÷43　を計算するときのような、何が立って、掛けて、引いて、次は何がたって…と、実際に割る方法です。
商　が　2x-5　余りが　8x-6　となるはずです。

(ax+b)÷(2x+c)　について
それと同じ計算をして下さい。
商が　a/2　余りが　b-frac{ac}{2}　となりましたか？

ここで　7/2　つまり　7÷2　を考えます。
商が　3　で余りが　1　ですね。
また、7/2=3+(1/2)　ですよね。
つまり
(Ａ)/(Ｂ)=商+frac{余り}{Ｂ}　が成り立ちます。
　
frac{ax+b}{2x+c}　つまり　(ax+b)÷(2x+c)
は、商が　a/2　余りが　b-frac{ac}{2}　だったんですから、
frac{ax+b}{2x+c}=(a/2)+frac{b-frac{bc}{2}}{2x+c}
というわけです。

　解決です☆ありがとうございました！！

池田です。
私ならもうちょっと範囲を絞りたくなりますが……

変形をもう少し詳しく見てみましょう。
　　　sqrt{x+2}-sqrt{3x+5}=1
　　　sqrt{3x-5}=sqrt{x+2}-1
ここで左辺は何もしなくても≧0 ですから（まさに nana さんのおっしゃるとおりです）、
右辺の方を考えてみます。
考えるべき点は２つで、
　・根号の中が≧0 であること
　・右辺全体が≧0 であること
です。これが満たされれば、左辺のルートの中は自動的に正になってくれます。
（だから左辺のルートの中は考えなくてもよいのです）

まず１つ目。
根号の中が≧0 ですから、見たまんま x+2≧0 ですね。つまり -2≦x です。
そして２つ目。
右辺全体が≧0 ですから、
　　　sqrt{x+2}-1≧0
　　　sqrt{x+2}≧1
　　　x+2≧1
　　　x≧-1
となります。

更に、元の式を２乗した後の式は
　　　3x-5=x+2-2sqrt{x+2}+1
　　　2sqrt{x+2}=-2x+8
　　　sqrt{x+2}=-x+4
となりますが、ここにも上記の考え方を適用させます。
１つ目。根号の中が≧0 より、x≧-2 となるのは上と同じです。
２つ目。右辺全体が≧0 より
　　　-x+4≧0
　　　x≦4
となります。

実際には、条件は２つ目だけで十分ですし、
もしそうだとしても不等式は -1≦x≦4 となるはずなのですが……何かイマイチよくわかりません。

池田さん早速教えていただきどうも有難うございます。
分かりやすい説明をしていただき本当に感謝しております。
・根号の中が≧0 であること
・右辺全体が≧0 であること　
これがポイントですね。おかげ様で完全に理解できました。