水野％助っ人です。

>c/(x+1)(x+2)^2
={A/x+1}+{B/x+2}+{C/(x+2)^2}
のようにします。
＃ ＡＢＣの求め方については、また別の機会に・・・。
私が知っている限りでは、この用途はおもに数�Vの積分計算です。このようなこま
かい足し算に直しておくと、それぞれが積分の公式に当てはまる形になるんです。

もちろん、↓こちらについても、
>1/x(x+1)(x+2)
={A/x}+{B/(x+1)}+{C/(x+2)}
の形に直すことができます。

ただし、数列の和を求める用途であれば、
={1/x(x+1)}-{1/(x+1)(x+2)}
のように（全体が引き算の形になるように）変形する方が楽です。
＃ ｘに１からｎまでを順々に代入していくと、となりあった部分の「＋」のとこ
＃ ろと「−」の部分で打ち消し合いますよ。
・・・ただし、さきほどの方法で求まらないわけではありません。

このように、もとの式の形はもちろん、「用途」によっても目標とする形は異なっ
てきます。とりあえず、入試に出る代表的なものに当たっておけば十分ですよ。

nanaさん、こんばんわ。水野先生いつもありがとうございます。
大阪は暑い日が続いていて、バテ気味です。

分母が２次式のときは、分子は１次式にします。
例えば、
frac{x+1}{(x-1)(x^{2}+1)}=frac{a}{x-1}+frac{bx+c}{x^{2}+1}
とおきます。

水野さん、新矢さんいつも有難うございます。
水野さんのおっしゃる通り積分計算で出てきました。

今日は台風なのにうちの学校は帰してくれませんでした(泣
これから夏休みが終わるまでに青チャートの�TAから�VCまでの全例題を
マスターする予定なので解らないことを質問させていただくことが多いと
思いますがどうかよろしくお願いいたします。

インテグラルの中を以下のように変形していきます。

sin^{5}x
= sin^{4}x * sinx
= (1 - cos^{2}x)^{2} * sinx
= (1 - 2cos^{2}x + cos^{4}x) * sinx
= sinx - 2cos^{2}xsinx + cos^{4}xsinx

これをインテグラルの中に入れて計算すれば求まります。

スイマセン入れて計算するとどんな感じで８/１５になるのか教えてもらえますか？

kumaさん，いつも回答ありがとうございます。

int{sinx - 2cos^{2}xsinx + cos^{4}xsinx}dx
=[-cosx+(2/3)cos^{3}x-(1/5)cos^{5}x]

解かりにくければ，第２項の cos^{2}xsinx は cosx=t と置換して
第３項の cos^{4}xsinx も cosx=t と置換してみましょう。

また，参考書(速攻数学３微積分計算等―とちょっと宣伝)を調べると，
I_{n}=int_{0}^{pi/2}sin^{n}x dx とするとき，
I_{n}=frac{n-1}{n}I_{n-2} を示せ
という問題が載っているかもしれません。
その結果より導かれる公式を使うと一瞬で求まります。

公式ありました！
メッチャ簡単に出るんですね。
ありがとうございました！

積分計算に苦労されてるようですね。
ルートの中を平方完成します。

sqrt{-x^{2}+2ax}=sqrt{-(x-a)^{2}+a^{2}}=sqrt{a^{2}-(x-a)^{2}}

として，x-a=asinθ　と置換します。

どうにもこうにも微積分ってニガテで・・・（＞＜）
なるほど。やってみます。
ありがとうございました！

表記が良く分からないんですがたぶん円で考えたほうが早いと思います。
違ってたらすみません。

LWさん，ありがとうございます。
おっしゃるように，y=sqrt{2ax-x^{2}} とおいて両辺２乗すると，
y^{2}=2ax-x^{2}
x^{2}-2ax+y^{2}=0
(x-a)^{2}+t^{2}=a^{2}
となり，y=sqrt{2ax-x^{2}}　は，(a,0) 中心，半径a の上半円を表す方程式ですから，グラフを描くと，この定積分がいうところの面積は，半径 a の円の面積の1/4 となり，すぐに求まります。
じつは，くろさんから，“解けました”とご報告があったら，この方法も紹介しようと思っていたんです。

ＬＷさん，今後とも宜しくお願い致します。

助っ人の池田です。

恐らく tan x から cos x を
　　　1+tan^2 x=1/(cos x)^2
を利用して求めたかったのかも知れませんが、これでは２乗が出てきて大変なことになります。

それを防ぐ為に、２乗が直接使える公式（cos の倍角公式）を使ってみましょう。
　　　cos x=2cos^2(x/2)-1
　　　　　　=frac{2}{1+tan^2(x/2)}-1
　　　　　　=frac{2}{1+t^2}-1
　　　　　　=frac{2-(1+t^2)}{1+t^2}
　　　　　　=frac{1-t^2}{1+t^2}
となりますので、これを tan x=frac{sin x}{cos x} より導かれる
　　　sin x=cos x・tan x
に代入すれば
　　　sin x=frac{1-t^2}{1+t^2}frac{2t}{1-2t^2}
　　　　　　=frac{2t}{1+t^2}
となります。めでたしめでたし。

できました！池田さん教えていただき有難うございました。
2倍角や半角の公式は覚えてはいるのですが実際まだなかなか使いこなせません。

数子さん、こんばんは。度々のご利用ありがとうございます。

Ｌ=int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}dx

これは、 x=tanθ　と置換します。
（この置き換えをする定積分は参考書には必ず載っています。）

上記置換によって、
L=int_{0}^{π/4}(1/cos^{3}θ)dθ　となるはずです。

この積分は、複数の計算方法がありますが、ここでは、
(1/cos^{3}θ)=(1/cosθ・cos^{2}θ)=frac{1}{cosθ(1-sin^{2}θ)}
としてみます。
さらに、sinθ=t　と置換することで、次にようになるはずです。
L=int_{0}^{1/√2}{1/(1-t^{2})^{2}}dt

被積分関数を部分分数の和に分けると、結局つぎの積分になります。

L=(1/4)int_{0}^{1/√2}(frac{1}{1-t}+frac{1}{(1-t)^{2}}+frac{1}{1+t}+frac{1}{(1+t)^{2}})dt
これでやっと積分できる形になります。

計算の途中で、２重根号をはずすと、
答えは　L=frac{log(√3-1)+√2}{2}　になりました。

○　入試問題なら、ヒントとなるような小問がついているような、出題形式になると思います。

問題間違っていました・・・
すいませんm(__)m

教えていただいたのをもとに
参考書を見てがんばります！

また教えて下さい。