複素数の偏角というものは一般角で考えても良いことになっているので，
0°≦θ≦３６０°と決めても良いし，決めなくてもよいことになっています．
決めないときには，
argz=-45°と書いてもargz=315°と書いてもかまいません．
決めないときには，
「360°の整数倍のずれはargに含め，適当に補正すれば等号が成り立つ」
場合に=で結んで良いことになっています．

一般に極形式は，
r(cosθ＋isinθ)の形ですが，0でない複素数の極形式は，
r>0となるようにして，実部がcos，虚部がsinで表されるようにするのがルールです．
もちろんcosとsinの中身は一緒でなくてはなりませんし，isinの前も+で無ければなりません．

sinθ＋icosθ　を極形式で表せ，の場合，
sin(90°-θ)=cosθ
cos(90°-θ)=sinθ
なので，
cos(90°-θ)+isin(90°-θ)
が正解です．

-sinθ＋icosθ
なら，
sin(90°+θ)=cosθ
cos(90°+θ)=-sinθ
なので，
cos(90°+θ)+isin(90°+θ)
が正解です．

どもありがとうございます。

＞もちろんcosとsinの中身は一緒でなくてはなりませんし，isinの前も+で無ければなりません．

よく、意味がわかりません。

三角関数は得意なので、式はわかるのですが・・・


sin(90°-θ)=cosθ
cos(90°-θ)=sinθ
なので，
cos(90°-θ)+isin(90°-θ)
が正解です．

この作業の意味がわかりません。
なんなら、cos(180°＋θ)＝-cosθでもいいのですか？

極形式というのは，cos，sinの中身として偏角が出てこないといけません．
また，その外側に絶対値が出てこないといけないのです．

だから，
-(cosA+isinA)
とか，
sinA+icosA
とかでは極形式とは言えないのです．

一方，
cos(90°-θ)+isin(90°-θ)
とか，
cos(90°+θ)+isin(90°+θ)
は，
r(cosA+isinA)
の形になっていますよね？
だから，この形にすることが目的なのです．

ありがとうございます。

偏角って、θだけじゃなくて、数字がないといけないってことかな。

たとえば、3+4iを極形式で現せっというのは、

√５（cosA+isinA)だけど、具体的なAはでてないから、これでは
極形式って言えないってことですか？

○２さん
学年を教えていただけますか？

教科書はお読みになりましたか？
絶対値と偏角の意味は理解していますか？

Viper先生のレスにあるように、
極形式とは
r(cosθ＋isinθ)の形で、ある複素数をその絶対値（原点との距離のことですから、当然プラスですね）と、偏角（ｘ軸の正方向となす角）で表した形のことです。

“極形式で表す”ということは、その複素数の絶対値と偏角が一目でわかるようにしよう、ということです。

例えば、
-(1/2)+(√3/2)i
は複素数平面上に図示すると、絶対値（原点からの距離）は１で、偏角（ｘ軸の正方向のなす角）は120°とわかりますね。
ですから極形式で表すと、
-(1/2)+(√3/2)i=cos120°+isin120°　となりますね。
ここで間違ってはならないことは、
sin330°=-1/2、cos330°=√3/2　だからといって、
-(1/2)+(√3/2)i=sin330°+icos330°
と変形しても、これは極形式ではありません。なぜなら、-(1/2)+(√3/2)i　の偏角は330°ではないからです。
そもそものお尋ねの質問は、いってみれば、
極形式ではない　sin330°+icos330°を極形式である　cos120°+isin120°に直せということを一般論として問うているのです。

○　３＋４i　の極形式は　√５（cosA+isinA)　です。
角度Aがわからないときは、
“ただしAは、cosA=3/5、sinA=4/5　を満たす角”と補足しておくといいでしょう。

3sinθ＋4cosθ　を合成せよ、という問題で、
3sinθ＋4cosθ=5sin(θ+α)
ただし、αは　cosα=3/5、sinα=4/5　を満たす角
とするのと、似てるといえば似てるかもしれません。

助っ人の池田です。

例によって n にいろいろな値を代入してみましょう。
まず n=1 ならどうでしょう？
　　　与式=cos120+i sin120+cos240+i sin240
　　　　　=-1
それなら n=2 は？
　　　与式=cos240+i sin240+cos480+i sin480
　　　　　=cos240+i sin240+cos120+i sin120
　　　　　=-1
次に n=3 は？
　　　与式=cos360+i sin360+cos720+i sin720
　　　　　=cos0+i sin0+cos0+i sin0
　　　　　=2
もっと行って n=4 は？
　　　与式=cos480+i sin480+cos960+i sin960
　　　　　=cos120+i sin120+cos240+i sin240
　　　　　=-1
……あれ！？ n=1 の時に戻ってる！！
ということは、n=5 の時は n=2 の時と同じで、n=6 の時は n=3 の時と同じで……
それなら
　・n=1,4,7,10,... の時をひとまとめに考える
　・n=2,5,8,11,... の時をひとまとめに考える
　・n=3,6,9,12,... の時をひとまとめに考える
ってやっていったらよさそうですね。
以上の３通りの場合分けをカッコ良く（！？）書いたら
解答のような場合分けになった、という訳でした。

解説どうもありがとうございました。大変よくわかりました。

では、ヒントです。

解と係数の関係を利用すると
前者はすぐに出ます。
後者は解と係数の関係の証明から出ます。

n次方程式の解と係数の関係は、
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0
= a_n (x - \alpha_1) (x- \alpha_2) … (x-\alpha_n)
の右辺を展開して係数比較すれば証明されます。

前者を出すには、定数項で・・・。
後者は上式に・・・を代入すれば・・・。

teru224さん、こんばんわ。
kaizerさん、いつもお世話になっています。
霊や悪魔の皆さんにも、よろしくお伝え下さい。

極形式の問題かな？と思いましたが違いました。
kaizerさんの回答を、この問題ように書きなおしますと、

z^{4n+1}-1=0　の解が、1,α_1,α_2,…α_{4n}　なので、
z_{4n+1}-1　は次のように因数分解されるということです。

z_{4n+1}-1=(z-1)(z-α_1)(z-α_2)…(z-α_{4n})

この式の　z　に、適当な値を代入しましょう。

Kaiserさん、新矢さんありがとうございました。ようやく解けました。
前者には０を後者にはiを代入したら答えが出ました。

とりあえず２行目の意味は
複素数α=a+biについて
α+bar{α}=(a+bi)+(a-bi)=2a　となります。
いまは，この関係がうまく使えそうなことが見えていたのでこの変形を行いました。

bar{c}z=（a-bi）（x+yi）　の実部は、ax+by
はいいですか？
そうすると(1)から
２（ax+by）＝a＾{２}＋b＾{２}　となりますね。
a＾{２}＋b＾{２}はよく分からないけど，何かの実数です。Cと置きましょう。
そうすると２（ax+by）＝Cとなるので直線を表します。

ありがとうございました！！
とても感激しています！！迅速な回答、本当にありがとうございました。
今回のように、分からないところがあるとなかなか前に進めず、かと言って質問できる人もいなくて
本当に困っていました。ここで伝えることのできる感謝の気持ちには限度がありますが、本当に助かります。これからも何度もお世話になってしまうと思うのですが、またよろしくお願いします。ありがとうございました！！

外心z は線分OAの垂直２等分線上かつ、線分OBの垂直２等分線上にあるので、
α~z+αz~-αα~=0 ･･･�@
β~z+βz~-ββ~=0 ･･･�A
をともにみたします。これらを連立方程式とみて、ｚ~を消去します。
�@×β−�A×α を計算します。

(3) {αβ(α~-β~)}/{α~β-αβ~}=α＋β を計算して
α~β^{2}=α^{2}β~ は出ましたか？
この式を変形すると
(β/α)^{2}=(β/α)~
となりますね。(β/α)=z としましょう。
方程式 z^{2}=z~ を解けばいいのですが、
z=r(cos Θ+i sin Θ) と極形式にして解くのがいいかと思います。

よく理解できました。
いつもいつも丁寧に解説していただき、大変助かっています。
どうもありがとうございます。