ＣとＰの違いですが，これは「順列」を数えるときに用いるのがＰ，「組み合わせ」を数えるときに用いるのがＣというのは大丈夫ですか？

たとえば，
１〜５の５つの数字で３桁の整数は何通りできますか？
と聞かれたら，１２３と１３２は別のものですから，取り出す順番を考える，あるいは取り出した後並べる順番を考える必要があります．この場合にはＰを用いますね．

５種類のケーキの中から同じ種類が重複しないように３種類買う買い方は何通り？
という問題であれば，ケーキを買う順番は関係ないですよね．
ショートケーキ・チーズケーキ・チョコレートケーキの順で箱に入れようと
チーズケーキ・チョコレートケーキ・ショートケーキの順で箱に入れようと
同じことです．この場合にはＣを用います．

上の解答はＣを用いていますが，（この(1)ではあまり意味はないんですが）
これも表の出るのが何回目になるのかを選んでいるからです．
もっといっぱいコインを投げているとして，
１回目と２回目と５回目が表
と言っても
１回目と５回目と２回目が表
と言っても表している状況は同じですよね．

すごく分かりやすいご説明有り難うございました！！
ＣとＰの違いがわかりました★
ホントに感謝しています。

場合の数の最も根本的なところですね．
決して悪い質問では無いと思います．

まずはもっと数の小さい具体例で考えてみましょう．
男子３人（Ａ，Ｂ，Ｃとする），女子２人（Ｘ，Ｙとする）から１人ずつ選んでカップルを作る場合の数を考えてみます．

まず，男子の方から選びましょう．ここで，この選び方が３通りですね．
女子の選び方は２通りですね．
で，ここで，３かける２＝６通りとするのが正しいわけです．

これは，最初に
Ａ君を選んだ場合に，相手として，Ｘさん，Ｙさんの２通りの選び方がある
Ｂ君を選んだ場合に，相手として，Ｘさん，Ｙさんの２通りの選び方がある
Ｃ君を選んだ場合に，相手として，Ｘさん，Ｙさんの２通りの選び方がある
ということで，３かける２＝６通りとするわけです．

柑橘系さんが例に挙げた問題でも，
どのような男子３人を選んだとしても，女子の選び方は10通りとなります．
だから，全ての男子の選び方20通りについて女子の選び方が10通りずつあるので，かけ算になるわけです．

どうですか？

なるほど！！！！！！考えてみればそうですね！！！！！有り難うございます！！

水野％助っ人です。

この式の意味は、純粋に式の上で考えていただいても結構ですが、公式のように使
う場面もありますので、次のような実例で考えていただけると分かりやすいと思い
ます。

＝＝＝＝＝
たとえばサッカーでベンチ入りしている２２人から１１人を選ぶとき、チームの
１人（主将）が、「よし、俺と・・・」と選び始めれば、その選び方は主将以外の
２１人から、主将以外の出場選手１０人を選ぶ選び方になり、

＊＊＊ ２１Ｃ１０通り

になります。が、主将が出られないときは、主将は自分以外の２１人から出場する
１１人を選ばなくてはなりませんから、

＊＊＊ ２１Ｃ１１通り

となるはずです。

でも、普通は、出場選手を選ぶのは監督ですね。監督は、主将も他の選手も区別せ
ず、純粋に２２人の中から１１人を選ぶはずです。その中に、主将が入った組み合
わせも、入らない組み合わせも、両方がもれなく含まれています。・・・というこ
とで、

＊＊＊ ２２Ｃ１１＝２１Ｃ１１＋２１Ｃ１０

が成り立ちます。これを一般化すると、教科書にあるような公式が出てきますね。

・・・分かりましたか？？

これは覚えておく公式だったんですね。
それにしてもなんて分かり易い説明だ…。
あんなに悩んだのに…。

水野です。

順列・組み合わせ関連で、ｎやｋ（一般の数）を扱ったものは、それ自体、理解し
づらくて当然です。
＃ たとえば「さいころを３ｎ回ふる。・・・」で始まるような問題は、国公立の
＃ ２次試験で出たりしますが、たいてい難しいです。

！やＣ関連の公式には理解しづらいものが多いのですが、実際に数をあてはめた
り、意味を考えたりして、そっちから理解するよう、常に心掛けてください。ただ
し、自分で勝手に公式を作らないように。

水野％助っ人です。

普通にトーナメント表を書き、入る場所を左から順に１，２，３，・・・，８とし
てみると、ＡからＨの８人をそれぞれの場所に入れる入れ方は８！通りですね。
・・・でも、異なる「組み合わせ」というふうに考えると、問題があることに気づ
きます。「組み合わせ」ですから、誰と誰が同じブロックに入っているかどうか、
そういう部分だけに注目しなければならないはず。たとえば、ＡとＢが１と２に
入っている表と、２と１に入っている表。これらは、ＡとＢがいつ対戦するかだけ
に注目すると同じものですから・・・。

１：１〜８の場所をすべて区別して考えると、並べ方は８！通り。
２：これらのうち、１と２を入れ替えたもの、３と４を入れ替えたもの、５と６、
＿７と８を入れ替えたものはすべて同じとみなすから、２×２×２×２で割る。
３：また、左半分に着目して、１２全体と３４全体を入れ替えたもの、５６全体と
＿７８全体を入れ替えたものも同じとみなすから、さらに２×２で割る。
４：最後に、左半分（１２３４）と右半分（５６７８）全体を入れ替えたものも同
＿じとみなすから、さらに２で割る。

よって、求める場合の数は ８！÷２＾７＝・・・＝３１５（通り） になります。
合ってますかね？？

＃ 順列と組み合わせの関係の導入のところや、「６人と３人ずつ２組に分ける方
＃ 法は何通りあるか？」などの問題で、「いくつかを同じものとみなす」という
＃ 重要な考え方が出てきました。そのあたりを含めて、復習しておいて下さい。

フォロー。別解です。

「同じものとみなして割り算」というのが本能的に受け入れられない場合は、この
ように考えても出来るのですが、ちょっと難しいと思います。

１：８人のうち１人を固定して考えると、まずこの人と初戦で当たる人の選び方
＿が７通り。
２：同じブロックの反対側、つまり、準決勝でこの人と対戦する可能性のある２人
＿の選び方が、６Ｃ２通り。
３：反対側のブロックに残った４人を２人ずつ２組に分ける方法は、やはりそのう
＿ち１人を固定し、その人と初戦で対戦する１人の選び方を考え、３通り。

求める場合の数は、最初の解き方と同じく ７×１５×３＝３１５（通り） です。

とってもよく解りましたぁ★確立は何だかあいまいな感じがおもしろいんですけど、とっても難しいですぅぅ。。。。いっつも解答読んで、あぁ、そうかぁ。。。ってなってしまいますぅ＞＜
　問題集の解答の�@は、（8Ｃ2×6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2/４！）×３　ってなってるんですけど、８人を２人ずつ４組に分けるから４！で割ってるのはわかるんですけど、掛ける３は何を意味してるんでしょうか？もし、１つのブロックで考えると４人の組み合わせは３通り（水野先生のフォローの３のように）で、そしたら、２ブロックあるから、もう一回３掛けるんじゃないんですかぁ？でもそうすると、答えおかしいし。。。やっぱ、まだ、理解してませんねぇぇ。。。。。

×３の意味：

４組のうち、ある人のいる組と同じブロックに入る、別の１組の選び方・・・なん
ですが、最初の部分を「８人を２人ずつ４組に分ける」と考えて丁寧に書くなら、
次のこちらも「４組を２組ずつ２ブロックに分ける」として

＊＊＊ ・・・×（４Ｃ２÷２）＝・・・×３

と書いて欲しかった気もしますね。私の回答で言えば、本解と別解の考え方が混
じってしまっています。でも、これで分かったと思いますが。

よくわかりました★感謝感激です★★★

お名前は記号は避けてくださいませんか。
****さん、はじめまして。は、ちょっと変な感触なもので。

確かに、『重複組合せ』という言葉だけでは、何をいっているのか解らないと思います。

参考書などで、『重複組合せ』の問題を探してみて、どんな問題を指すのかを知るということも大切だと思います。

『重複組合せ』の典型題としては、

（例１）イチゴ、チョコ、モンブランの３種のケーキから、７個買う組合わせ？

　　イチゴ2個、チョコ４個、モンブラン１個
　　イチゴ３個、チョコ１個、モンブラン３個
　　のように、イチゴが重複しても、チョコが重複しても、モンブランが重複して　　も良いということで、『重複』です。選ぶだけで、一列に並べたり、食べる順　　番まで考えるわけではありませんから、『組み合わせ』です。

　イチゴをｘ個、チョコをｙ個、モンブランをｚ個とすると、
　x+y+z=7　という式が成り立ちます。

（例２）区別のつかない、みかん8個を４人で分ける。

　これも重複組合せの問題ですが、いったい何が重複しているか解り難いです　ね。そこで、３人をＡ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君として、
Ａ君がｘ個、Ｂ君ｙ個、Ｃ君ｚ個、Ｄ君ｗ個　とすると、
　x+y+z+w=8　という式が成り立ちます。

このような、x+y+z+…+w=n　の形の式が成り立つ問題は、
重複組合せで解きます。
何が重複するか？と考えると反って頭が混乱しますから、
『重複組合せ　nHr』は、x+y+z+…+w=n　の形の問題を解く公式　nHr の名前だとでも、思って構わないと思います。

（注）先の例１は、必ず１個は買うのか、買わないものがあってもいいのかによって、
例２は、必ず１人１個は貰うのか、貰わない人がいてもいいのかで、答えが変わってきます。

ということで、参考書等で、“重複組合せ”の問題を探してみて下さい。

名前変えました。
ご返信有難うございます。

結局重複というのは例えば例1の場合、7個以内ならイチゴは何回取ってもよいということになるんですよね？
でも単なる組み合わせとの違いもよく分からないのですが・・・。
ちなみに参考書の問題は見ました、けど、まだいまいちです・・。

＞ちなみに参考書の問題は見ました、けど、まだいまいちです・・。

｢順列・組み合わせ・確率｣に王道（最小努力で最大結果を得られる勉強法）
はないと思います。そんなのがあれば、是非お聞きしたいです。
この単元は質より量だと思います。
解らないなりにも、問題をこなしていくうちに、何か見えてくるものです。
頑張ってください。

そ、そうですか。
分かりました。

ＫＯＵＴＡさん、はじめまして。

KOUTAさんは、どうして　9C2　であると考えられたのですか？
特に確率の問題では、何故その考え方が間違っているのか、を納得することが大切ですので、次回からはそのあたりの、自分の考え方も書き込んでくれると、回答しやすいです。

＞しきりをいれるという考え方

○｜○○○○｜○○○
のような絵で考えるということですね。
上の絵なら、候補者をＡ、Ｂ、Ｃとしたたき。
Ａが１票、Ｂが４票、Ｃが３票だと解釈しよう、ということです。

○○○○○○○｜｜○
なら、Ａが７票、Ｂが０票、Ｃが１票ということですね。
結局、○が８個、｜が２個、計１０個の順列ですから、10C2　となります。

選挙人が９人で、候補者が４人なら、
○｜○○｜○○○○○｜○
のように、しきり｜は候補者数-1本ですから、
○９個、｜３個、計12個の順列で、12C3　となります

ありがとうございました。
仕切りを入れるところを○と○の間だけで考えてました。
だから9C2になっていたんだと思います。

これからも困ったときにお願いします。

場合の数の問題というのは何でも計算式だけで解決できるというわけではありません．

ただ，この問題に関してはできますけどね．
ポイントは１００円硬貨４枚を５０円８枚と交換しても変わらないということです．
５０円３枚と１００円４枚でも５０円８枚でも変わりませんね．これで，
１０円２枚と５０円11枚にすれば，
３かける12-1=35通りでおしまいです．

１００円硬貨４枚を５０円８枚の違いは，下２桁が50である金額を払えるか払えないかというところだけですよね．だから，５０円が１枚でもあれば，あとは１００円も５０円も違わないわけです．同様に１０円が４枚以上あれば，５０円でも１０円でも同じです．
お金の場合2000円札を除けば，となりの単位と約数倍数の関係にあるので，すべてこの理屈が使えるのです．
だから，ある金額の下の単位を見て，併せられるなら併せてしまい，併せられなければ希海さんが10円を扱ったときと同じように別にして考えればよいのです．
つまり

１円が３枚，５円が１枚，１０円が６枚，５０円が３枚，１００円が１枚，５００円が２枚，１０００円が３枚，５０００円が２枚

のような問題では，
まず，１円が３枚しかないので，４円に満たないことから１円は別にします
５円は１枚で，１０円が６枚ですが，これは５円があるので，５円１３枚に置き換えられます．
とすると，９枚以上の５円があることになるので，５０円との区別も不要で，５円を４３枚とします．５円が１９枚以上あるので，１００円との区別も不要ですから，１００円も置き換えて，５円を６３枚とします．
とすると，５円が９９枚には足りないので，５００円玉とまとめることはできませんから，
５円はここで，別れることになります．
次に５００円は１枚以上あるので，１０００円は５００円と置き換えてよく，５００円は８枚と考えられます．これは９枚に満たないので，ここで５００円は分けます．

結局，
１円が３枚，５円が６３枚，５００円が８枚，５０００円が２枚なので，０円を除けば，
４*６４*９*３−１　通りの金額が支払えることになります．

１つ下の単位が上の単位の直前まで集まれば，上の単位と下の単位の機能の差はないので，下にまとめてよく，上の単位の直前に満たなければ，互いに干渉し合わないので別に考えればよい
という風にまとめられます．

ちなみに２０００円札を含む問題でも，それを１０００円以下とまとめることができれば，
（すなわち１０００円が１枚以上ある，あるいは５００円が３枚以上ある，あるいは１００円が１９枚以上ある，あるいは・・・・・・の場合）同じように考えることができます．

ありがとうございます！よくわかりましたっ。もう少しじっくり読んではっきり理解できるように頑張ります★