実際は，入試で虚数範囲で因数分解することは殆どないので，この単元の定期テスト専用問題と捉えて構いません。

基本は　x^{2}+1=(x+i)(x-i) です。（展開すれば戻りますね）

(1) x^{4}-4=(x^{2}-2)(x^{2}+2) 普通はここまでですね。
　　　　　　=(x+√2)(x-√2)(x+√2i)(x-√2i) となります。

因みに　x^{4}-4=0 の解は　±√2 , ±√2i の４つだということです。

(2) 解かりにくければ　x^{2}=t と置き換えてみましょう。
　　x^{4}+3x^{2}-4=(x^{2}-1)(x^{2}+4)
　　　　　　　　　=(x-1)(x+1)(x^{2}+4) 普通はここまで
　　　　　　　　　=(x-1)(x+1)(x+2i)(x-2i) となります。

似た問題として，　x^{2}-2x-1 の場合は
　x^{2}-2x-1=0 を解の公式で解いた，x=1±√2 を使って
　x^{2}-2x-1={x-(1+√2)}{x-(1-√2)} と因数分解できます。
　　　　　　　　　　

解説ありがとうございました！

まなさん、こんばんは。頑張ってますね。

これは、実際に割り算を実行したほうが速いですね。
1354÷26　を手計算でやるときの、
何がたって、掛けて、引いて、次は何がたって、…というあれです。

ax^{3}+bx^{2}+cx+d　を　実際に　x^{2}-1　で割って見ると、
余りは、(c+a)x+d+b　になるかと思います。
これが、5x+1　だというのですから、
c+a=5　、　d+b=1　が成り立ちます。
x^{2}　でも実際に割ってみましょう。　

久々（？）に助っ人の池田です。

もしかしたら
　　　P(x)=(x-1)^{2}(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c
と置いたのかも知れませんが、これでは少〜々まずいですよね。
何故なら、「(x-1)^2 で割り切れる」からと言って x=1 を代入して
P(1)=0 としてみても、これではただ P(x) が x-1 で割り切れることしか言っていないのですから。

それを修正する為に、もうちょっと (x-1)^2 で割り切れることにこだわってみましょう。
余りは最高でも２次式で、しかも、
　　　余りも (x-1)^2 で割り切れる！
のですから、余りは
　　　a(x-1)^2
としてやればよさそうです。

実際、
　　　P(x)=(x-1)^{2}(x-3)Q(x)+a(x-1)^2
として x=3 を代入すれば、
　　　P(3)=a(3-1)^2=4
　　　a・2^2=4
　　　4a=4
　　　a=1
となりますので、求める余りは
　　　(x-1)^2
となります。

ほんとにどうもありがとうございました！

2x^{3}+x^{2}+5x-3=0 について，
2x^3+x^2+5x-3=0 ⇔ x^3+frac{1}{2}x^2+frac{5}{2}x-frac{3}{2}=0 より，この方程式の解を整数だけでなく有理数についても考えたほうが良いかな〜 となんとなく思えて来ます......（私はそう言うのはあまり思えない人間なのですぐにMaple等の計算機代数システムに頼ってしまいますが.....）
そこで，f(1/2) = 0 となり，(x-frac{1}{2})で元の方程式の左辺が因数分解可能だと分かります．（やや発見的素養を必要とする問題ですね）続きは先ずは御自分でしてみて下さい．

x(x+1)(x+2)(x+3)=24 については， 24 = 1×2×3×4 となっていることを参考にして下さい．このパターンについては数学Bの教科書に載っていると思います．

フィギュアさん、こんばんは。

＞授業で扱っていないもので、教科書を見ろと先生に言われたのですが、

そういうときは、参考書に頼るしかないですね。
授業前の予習として、全くの白紙から学習するなら、文英堂の『理解しやすい』がお奨めです。

�A　は算太郎さんが見つけてくださった、x=1/2　が解であることから、
左辺は
(2x-1)(２次式)　と因数分解できるはずです。
（２次式）の部分が何かは、普通は組み立て除法というのを使うのですが、ご存知ないでしょうから、実際に、

2x^{3}+x^{2}+5x-3　を　2x-1　で割ってみることで解ると思います。

�Bは数�T範囲です。展開する（）の組み合わせを考えます。

x(x+1)(x+2)(x+3)=24
x(x+3)(x+1)(x+2)=24
(x^{2}+3x)(x^{2}+3x+2)=24
t=x^{2}+3x　と置きかえれば　ｔの方程式が得られます。

○　学校の進度はかなり速いみたいですね。
　もしも、学習方法等で困ったときには、当ＨＰのＴＯＰからリンクしている、ＨＰで相談にのってくださいますので、ご利用ください。
この掲示板でもＯＫです。

算太郎さん、新矢さん、アドバイスを有難う御座いました。
夏休みも終わりだからでしょうか、
一気に質問が増えて、加えて返信が遅くなってしまい、
大分スレッドが下がってしまいましたが、
お礼を述べたいと思います。
重ねて、有難う御座いました。

この問題は因数定理では解けません。まず
x^4-2x^3-x^2-2x+1=0
をとくことを考えます。この方程式の係数に注目してください。
1 -2 -1 -2 1というように3次の係数に対して対称になっています。このような形の方程式(名前があったはずですが忘れました。先生に聞いてみてください。）は解くことができます。
x=0は解ではないから両辺をx^2で割ると
x^2-2x-1-2/x+1/x^2=0
ここでt=x+1/xとおくと与式は
t^2-2t-3=0
これを解いてその解をt=x+1/xに代入して解けば解が出ます。
この解は
x^4-2x^3-x^2-2x+1=0
の解でもあるからこれらを用いてx^4-2x^3-x^2-2x+1を因数分解できます。
高校数学でノーヒントで出るのは因数定理を使う問題とこの形の方程式の問題ぐらいです。

水野％助っ人です。

「最高次が偶数次で、係数が左右対称」
・・・名前は「相反方程式」ですね。

これを扱う際のポイントは、ｔ＝ｘ＋（１／ｘ）とおくと、

｛ｘ＋（１／ｘ）｝＾２
＝ｘ＾２＋２・ｘ・（１／ｘ）＋（１／ｘ）＾２
＝ｘ＾２＋２＋｛１／（ｘ＾２）｝

つまり

ｘ＾２＋｛１／（ｘ＾２）｝＝（ｔ＾２）−２

を用いて、全体がｔの・・・この場合は「２次式」で表されるようにもっていくと
いう部分ですね。

＝＝＝＝＝

別のやりかたでは、２次式の積に因数分解されると仮定して、ひとまず

＊＊＊ ｛（ｘ＾２）−２ｘ＋１｝＾２

を考え、これとｆ（ｘ）を比較してさらに別の公式を使う・・・という手があるの
ですが、少々あやしげです。
＃ これも係数が左右対称であることに注目して最初にこれをもってくるんです
＃ が、なぜいきなりこの式を思いつくのか？？・・・という部分が分かりづらい
＃ と思うので、別にいいです。

＝＝＝＝＝

どちらにせよ、一度やっておかないと。入試本番で出されたらまったく歯が立たな
くなるであろうたぐいの問題ではあります。

まず、おっしゃる通り x に -1 を入れて a の値を求めます。
a = -8

x^3 - x^2 - 10x - 8 = 0

これを因数分解すれば他の解が求まります。
この時にもともと x = -1 という解が分かっているのだから、
(x + 1)という因数が出てくるはずなのでこれを利用しましょう。

(x + 1)(x^2 - 2x - 8) = 0
(x + 1)(x + 2)(x - 4) = 0
x = -1,-2,4

よって他の２つの解は -2 と 4 になります。

温さん、お久しぶりです。kumaさん、回答ありがとうございます。

別解として、３次方程式の解と係数の関係の利用があります。
ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0 の３つの解を α,β,γ とするとき、
α+β+γ=-b/a 、 αβ+βγ+γα=c/a 、 αβγ=-d/a である。

x^3 - x^2 - 10x + a = 0 の解を α、β、-1 とすると、
α＋β-1=1 …�@
αβ-α-β=-10 …�A
-αβ=-a …�B

�@ より、α＋β＝２
これを�Aに代入して、αβ=-8
足して２、掛けて‐8 だから、α、βは 4と−2
�Bより a=-8

kumaさんの回答が王道だと思います。こんな解き方もあるという、ご参考までに。

　kumaさん、新矢先生わかりやすい回答、解説ありがとうございました。