水野％助っ人です。
・・・こりゃまた変な級数ですね。

でも、よく見てください。（　）内の右なら右だけを見ていったら、順番に
sin^{2}x 倍ずつになっているでしょう？？

そう、実はこれ、初項が sinx+sin^{2}x 、公比が sin^{2}x の無限等比級数に
なっているんです。収束するための条件は次のどちらかでしたから、
＃ もし忘れているなら教科書や参考書で確認してください！

１：初項が０
２：公比が−１より大きく１より小さい
（これ以外の場合、発散）

あとは初項・公比それぞれの三角関数を含む式、方程式・不等式を解くときのよう
に変形していってみましょう。ｘの値によって収束したり発散したり、収束する場
合も値が何種類かになる可能性があるので、それらを１つ１つ調べていきます。

【注意】初項が０以外で公比が１の場合は、同じものが無限に足し算されるので収
束しませんよ！無限等比「数列」（１項１項）の収束と、無限等比「級数」（無限
に足したもの）をきちんと区別してください。

＝＝＝＝＝
・・・と答えていて思ったのですが、いかにも数研の教科書傍用問題集のＢやＣの
問題にありそうなパターンですね。・・・と思ったら、やっぱりありました！

＊＊＊ 「４ＳＴＥＰ」の９２（２）でしょう？？

＃ この本の抜粋版「４ＳＴＥＰセレクト」では省かれていました。

私は４ＳＴＥＰの問題の解説の入ったＣＤ−ＲＯＭを持って（正確に言えば、ソフ
トを自分のＰＣにインストールして）いるので、こっちで出力してみたんですけ
ど、・・・今言ったことを、いちいち場合分けして答えを出しています。かなりい
ろいろな分野の知識を要求される問題なので、ゆきさん自身が、自分はそこまでの
基礎知識がないと思ったら、とばしてもかまわない問題です。

初項ａ＝sinｘ＋sin２乗ｘ
公比ｒ＝sin２乗
これは、わかりました。
１）ａ＝０のときｘ＝２ｎπ又はｘ＝π＋２ｎπ又はｘ＝３／２π＋２ｎπ
この無限級数は収束し、その値は０
ここまで、考えました。
２）ａ＝０でないとき
この２）のときは、どうすれば良いのですか？

公比の条件を考えると、 -1<sin^{2}x<1
・・・でも、こいつはよく見ると、まんなかが２乗のかたちになってますからね。
「＝１」になる sinx=pm1 のとき、ｘの条件に直すと x=(π/2)+nπ になります
が、(3/2)π+2nπ のときは「ａ＝０」でフォローしていますから、x=(/2)+2nπ
のときだけ（正の無限大に）発散、そうでないとき収束で、収束値は公式
「a/(1-r)」に代入して、約分してやります。すると、この式はx=nπのときにも成
り立ちますから、そこの部分については規則を１本化した方が、解答としてかっこ
よくなりますよね？？そうします。

・・・これだけのことをしてやると、答えは以下のようになります。

x≠(π/2)+nπのとき収束し、S=sinx/(1-sinx)
x=(3/2)π+2nπのとき収束し、S=0
x=(π/2)+2nπのとき発散する。

無限等比級数の収束・発散を調べるとき、初項＝０は例外として最初に処理してや
り、あとから出てくる｜ｒ｜＜１の条件よりも優先させる必要があるので注意して
ください。
＃ 公比の部分が２とかでも、初項が０だったら・・・おお、収束だ！と考えて