助っ人の池田です。

sin A=Y, cos A=Z ということと
　　　1/cos A-tan A=2/3
ということから、
　　　1/Z-Y/Z=2/3
　　　(1-Y)Z=2/3
　　　1-Y=(2/3)Z
がわかります。ためしに両辺を２乗してみましょう。どうなるでしょうか？
　　　(1-Y)^2=(4/9)Z^2
　　　1-2Y+Y^2=(4/9)Z^2
となります。

ここからどうしましょうか？ sin^2 A+cos^2 A=1 ですから、
　　　Y^2+Z^2=1
なのですから
　　　Z^2=1-Y^2
ですので、
　　　1-2Y+Y^2=(4/9)(1-Y^2)
　　　(13)/9Y^2-2Y+5/9=0
　　　13Y^2-18Y+5=0
　　　Y=1, 5/13
となります。（ここで Y=1 とすると、Z=0 つまり cos A=0 となり、分母が０になるので不適です）

このことから
　　　Z=sqrt{1-Y^2}
　　　 =sqrt{1-(5/13)^2}
　　　 =12/13,
　　　X=1/Z+Y/Z
　　　 =13/12+(5/13)×(13/12)
　　　 =13/12+5/12
　　　 =18/12
　　　 =3/2
となります。

池田さん、とても丁寧に解説していただきありがとうございました。

sinθ-cosθ=1/2　…�@
両辺を２乗します。

sin^{2}θ-2sinθcosθ＋cos^{2}θ=1/4

これに　公式　sin^{2}θ＋cos^{2}θ=1　を代入すると

sinθcosθ=3/8　…�A　であることが解ります。
ここで、0<θ<180　から　sinθ>0　です。
�Aから、sinθ　と　cosθ　の積が正ですから、cosθ>0　が解ります。

さて、この手の式の値を求める問題では、和の値と積の値を求めておくのが原則です。
和　sinθ＋cosθ　の値をやはり２乗することで求めます。

(sinθ＋cosθ)^{2}=sin^{2}θ+2sinθcosθ+cos^{2}θ　←�A代入
　　　　　　　　　=1+3/4=7/4
ゆえに　sinθ＋cosθ=√7/2　…�B　sinθもcosθも正ですから−は不適

�@＋�A　より　sinθ　が求まります。

（２）tanθ＋1/tanθ=(sinθ/cosθ)+(cosθ/sinθ)
　　　　　　　　　　=(sin^{2}θ＋cos^{2}θ)/sinθcosθ
　　　　　　　　　　=1/sinθcosθ=8/3

御返事ありがとうございました。 解けました。

きゆうさん、こんばんわ。

三角形の成立条件は、“どの２辺の和も他の辺より大きい”ということですが、
これはいいかと思います。
３辺を　a,b,c　とすると（a,b,c　の大小は決めません）
a+b>c　…�@
b+c>a　…�A
c+a>b　…�B
�Aは　c>a-b　…�A’、�Bは　c>b-a　…�B’となります。
a,b,c　の大小を決めていなかったため、�A’と�B’の連立不等式の解は、
a,b　の大小によって変わってきます。
例えば、a=2,b=5 のときは
�A’は　c>a-b=2-5=-3
�B’は　c>b-a=5-2=3　となり�A’と�B’を共に満たす条件は　�B’の方です。
一般に
a>b　のときは　�A’
a<b　のときは　�B’になります。
このことを　c>|a-b|　と表しています。

回答ありがとうございます！理解することができました。

しかし、考えるにつけ、まだまだ。全然足りていませんね〜；；今こんなことでいいのでしょうか…。もっと頑張らないと、という決意新たに、残りの夏を乗り切ります！

それでは、最後にもう一度、ありがとうございました。

「数学参考書レビュー」の水野です。

最初の、サインどうしの関係なんですが、わかりにくいので辺の長さどうし
の関係に直します。正弦定理の式を変形していくと

a/sinA=2R → a=2RsinA → a/2R=sinA
＃ 両辺に何かをかけて／割っています。ＢとＣも同様です

となるので、与えられた式の sinA のところに a/2R をあてはめていきま
しょう。「4a=3b=2c」となるでしょう？？

（１）
この式の処理も結構難しいのですが、かけざんで全部等しくなるわけですか
ら、ａが３×２×何か、ｂが４×２×何か、ｃが４×３×何か・・・だった
としたら、３つが「４×３×２×何か」となって等しいわけなんです。
だから、「a:b:c=6:8:12」簡単にして「3:4:6」が答えになります。
・・・これを、慣れてくれば

4a=3b=2c=k とおくと、a=k/4 b=k/3 c=k/2 だから「a:b:c=1/4:1/3:1/2」
簡単にするには全部に１２をかけて、答えは「3:4:6」

というふうにできるようになりますが、今はとにかく答えが出て来ればよい
でしょうね。

（２）
（１）で出て来た３・４・６は「長さ」ではないが、とにかく全部を何か倍
すれば３辺の長さとして扱うことができます。そこで、「a=3t b=4t c=6t」
とおいて、余弦定理を使いましょう。すると、

cosC=((3t)^{2}+(4t)^{2}-(6t)^{2})/(2*3t*4t)
=-(11t^{2})/(24t^{2})
=-11/24

と求まります。けっきょくｔは約分されるわけです。そうですね、ｔがどん
な数でも、三角形の角は変わりませんからね（相似）。

（３）
（２）と同じように余弦定理でcosBを求め、「三平方」の公式を使ってsinB
を求めることができます。

教えてくださってありがとうございました。
でも、私にどうしても難しくっていまいちわかりません。
もう少し、解りやすいやり方ってありますか？

水野先生が教えてくれたの見ながら自分なりに考えたのですが、やっぱり解りません。

やり方自体で、これより簡単なのは私も知りません。
・・・サインどうしの比が与えられているところから出発する問題は、辺の
長さの関係に直すところからして結構難しいのですが、＝でつながったもの
から２つずつ取り出し、とにかくsinA他が左辺にくるように変形していけば
いいわけだし、ひとしきり代入したあと全体に２Ｒをかけて分母を払うのも
数問やれば慣れます。

それよりも、皆さんにとって分かりづらいのは、

＊＊＊「4sinA=・・・」という式を比と結びつけるところ

ではありませんか？？とくに今回の題材は三角形ですから、どうしても３つ
の比が出てきてしまいますし。

３つだと難しいので、２つからいきます。４ａ＝３ｂのとき、ａ：ｂは？と
いう問題なら、４と３を逆にするだけでいいですね。３：４です。同じよう
に、３ｂ＝２ｃならどうでしょう？同じく２：３になるはずです。

ここで、３つを揃えて書いてみましょう。

｜ａ：ｂ：ｃ
｜３：４
｜＿＿２：３

ｂが両方に登場しています。このとき、ａ：ｂ：ｃを１つで表すにはどうす
ればいいでしょう？？

ｂを片方では４、片方では２だと思っていますから、通分みたいなことをし
て、真ん中を揃えてやります。下の２のところを４にしてみると？？
・・・そう、右下の３を「６」にすればいいはずです。

ということで、ａ：ｂ：ｃ＝３：４：６になります。・・・そう、実は
（１）の途中からの部分を、私が小学生のときに塾で習ったとおりにやって
みたのですが。どうでしょう？？

やっと解りました。
ありがとうございました。

・・・なるほど、そこがネックでしたか。
やっぱり大事ですね、算数。

＃ その部分だけの問題をやって解けるかでなく、「使える」ようになっている
＃ か。説明の途中でチョロッと使われること、ありますしね・・・。

返事が遅れてすみませんでした。
解りやすい説明ありがとうございました。

星空さん（素敵なＨＮですね）、はじめまして。

まずは正弦定理、sinA=a/2R　等を与式に代入することで
2a=b+c
つまり　a=(b+c)/2　…�@　が得られます。

次に、角の２等分線の性質　BD:DC=AB:AC　から
CD=a*frac{b}{b+c}
�@　を代入して　CD=b/2　となります。
あとは、余弦定理で求まるのではないでしょうか？

[1][2]は文句なしの出来ですね。さて、問題の[3]です。

数学的に間違えていませんが、
>ＧＤを求める。（ＧＣ−ＣＤもしくはＢＧ−ＢＤ）
で、BGやGCはどうやって求めました？

新しい考え方のヒントです。
内接円の中心は３辺から等距離にありますが、
「３角の二等分線の交点」
でもありますよ。
ということは、線分ADにMがあるってことですよね。

続きは自分で考えてみてください。頑張って！

zxcvさん、久しぶりの新たな質問ありがとうございます。
londontrafficさん、はじめまして。回答ありがとうございます。今後とも宜しくお願いいたします。

さて、角の２等分線といえば、中学で学習した
　BD:DC=AB:AC
を使う問題が多いです。
londontraffic　さんのレスも参考にして、この性質を利用すれば直ぐに解るかと思います。答えは、（9√7-7√3）/9　です。

＞数学というものはひらめきさえあればどんな難しい問題もほとんど解けると私は思っています。

確かにそうかも知れません。ただ、注意が必要なのは、
同じ問題でも、５秒でひらめく人もいれば、５時間考えてもひらめかない人もいるということです。
学問としての数学ならば、時間に関係無くひらめいたらいいのですが、
“入試数学”では試験が終わってからひらめいても仕方が無いのです。

今回質問された問題に関していれば、
“内心の問題は角の２等分線の補助線を引く”
“角の２等分線ときたら、BD:DC=AB:AC”と暗記している受験生と、
そうでない受験生（当然　BD:DC=AB:AC　の定理は知っているはずです）では、
どちらがひらめくまでの時間が短いでしょう？
私はそういう意味で『受験数学は暗記ものだ』と思います。

ということは、ＭＤは内接円の半径と言うことでしょうか？
そうだとすると、
　　三角形ABCの面積が５√３だから、S=r/2*(a+b+c)を適用させて、
　　５√３＝r/2*(4+5+√21)を解くと、
　　１０√３＝r*(9+√21)---->r=１０√３/(9+√21)
r=１０√３*(9-√21)/(9+√21)*(9-√21)
r=(90√３-10√63)/(81-21)
r=(90√３-30√7)/60
=(3√３-√7)/2=AD
という風になったのですが・・・新矢先生の解答と違うのはなぜ？また私にミスがあったのでしょうか？申し訳ありませんが、もう一度お願いします。
ちなみに、旅行に行っていたため一週間も返事がかけませんでした。お詫び申し上げます。また今日から部活の合宿なのでまた返事が遅れると思いますがよろしくお願いします。

＞ということは、ＭＤは内接円の半径と言うことでしょうか？

いえいえ違います。内接円の半径はＭからＢＣへの垂線の長さです。

私の解き方をもう少し詳しく説明しますと、

BD:DC=4:5
から、BD=(4/9)BC=4√21/9

ＡＭ：ＭＤ＝ＢＡ：ＢＤ＝４：４√21/９＝９：√21

ＡＤが解っているのですから、この比からＭＤを求めよう、という考え方です。

弁明するわけではあるのですが、部活、宿題、学校の夏期講習などによりここ１０日間はめまぐるしく、ＨＰを見る暇さえありませんでした。（せっかくお答えいただいているのに・・・申し訳ありません。）
で、本題ですが新矢管理人のおっしゃっている意味が私の頭脳のとろけ具合が激しいためここ１０日間全くわからなかったんですが、夏期講習も終え、図書館で頭のリフレッシュをしたら、ものの３分で理解できました。三角形ABDでその性質（定理の名前は忘れました）を使うことを今日解くまでは疲れ切った頭ではひらめくことができなかったみたいです。
夏休みも後少しで終了。２学期もよろしくお願いします（返事が遅れるかもしれませんが（笑））。

ゆきさん，連日の質問ありがとうございます。

絵は描いてますよね？
∠BAP=θ　としましょう。
△BAPの面積が 1/3 になるときのθは？　ということなんですが，
△BAPの面積を式で表すためには AP の長さも必要になりますから，AP=x としましょう。
△BAP=(1/2)･1･x･sinθ=(x/2)sinθ=1/3
　∴　xsinθ=2/3 …�@
もう一つ式が必要です。△CAP の面積が 2/3 であることより
△CAP=(1/2)･2･x･sin(90-θ)=xcosθ 　←　公式 sin(90-θ)=cosθ OK?
　∴　xcosθ=2/3 …�A

�@÷�A　より，tanθ=1　　　∴　θ=45°
解かりにくければ，再度質問して下さいね。

理解できました。また分からないことがあったら質問させていただきます。その時はよろしくお願いします。

ＡからＢＣにおろした垂線の足Ｈを考えてみましょう．

これでcos∠ABC=1/5が使えますよね．あとはＡＨとかＢＨを求めれば先へ進めます．

内接円の半径は面積の利用
外接円の半径は正弦定理
このあたりは大丈夫ですよね．

有り難うございました！！とってもわかりやすく，
すらすら解けて数学の楽しさが分かってきました★
すぐ解けないと諦めてはいけないなっと思いました。

上底の両端から下底のへ垂線をおろすのは等脚台形の扱いとしては１つの定石だと思います．是非覚えておきましょう．


これからも楽しい数学ライフをおくって下さい．

こんにちは。
高1でどこまでやったかは、忘れてしまいましたが、
正弦・余弦定理はやりましたよね。
図を書いてもらえば分かると思いますが、
面積のMAXは、△ADCがAD＝DCの2等辺のときです。
∠ADCは「四角形が円に内接」より、120度ですから
あとは全てもとまるのでは？
余弦でACの長さを出し、正弦でADの長さは分かります。
面積は△ABC+△ADCを考えます。

では，他の問題でも二等辺になれば最大といえるのですか？
すみません，何度も。。。
でも，わかりました！！有り難うございました！！

先ず，図を書いてください．その上でよーく図を見てみると，
AB = 8 , BC = 5 , ∠ABC = 60度 から，△ABCの面積は確定してしまっていて，もう変えることは出来ません．(ACに補助線をいれるとよろしい)

従って四角形ABCDの面積を最大にするには，点Dを円周上で動かして，△ACDが最大となるようにするしかないのです．そこで，この△ACDの底辺をACと見てやるとDがどのような場所にあるときにこの△ACDの面積が最大になるかと考えてみればおのずとAD=CDの意味は分かって来ると思います．
もちろん，中学の間に習う円の性質は理解していないと苦しいと思いますが.....

また，他の問題と言うのを単に適当な図形に対して面積を最大とするような問題群と解釈すると，やはり図形個々に調べてやる必要があると思いますね．(問題によっては必ずしも二等辺三角形だと最大になるとは当然限らない)
図形の面積を与えられた点の座標で表現した式(数学IIで登場します)の最大値，最小値を求める手順を考える問題に帰結されるでしょうが，どんな式に対しても一発で最大，最小が解ける系統的な手続は多分ありません．微分積分などの高度な議論も必要になって来ます．

この問題のMAXはもちろん、ACとの平行線で円と接する点でとります。
なぜなら、ACと平行線との距離が最も遠くなったときに、三角形の
高さがMAXになるからです。底辺は同一です。
図形の問題では、たえず頭の中でシュミレーションすることが大切です。
一問一答式で覚えないことによって、くだらない誤答は避けられます。
「あっ、これどこかで見た」と思って古い記憶をつむぎださないようにして
ください。毎回、考えるのがいいです。

助言とっても感謝しています！

まんまるさん、こんばんわ。

もちろん絵はかいてますよね。

△DBE　において　tanθ=DE/BE　ですから、BE=L/tanθ　です。
また、△CGF　において　∠CGF=θ　より
tanθ=FC/GF　だから　FC=Ｌtanθ　です。

EF=1-BE-FC=1-(L/tanθ)-Ltanθ
EF=L　より
L=1-(L/tanθ)-Ltanθ
これを変形すると、
L=frac{1}{1+tanθ+(1/tanθ)}　となるはずです。

(2)　は逆数をとってから、相加相乗を使います。

解り難ければ再度質問を