元の直線がx軸とつくる角をθとすると直線の傾きが 1/5 なので tanθ = 1/5 となります。
また、回転した後の直線の傾きは tan(θ+45°) と表せます。

ということで、この tan(θ+45°) を求めればよいという事になります。

これを求めるにはタンジェントの加法定理を使うだけです。

　tan(θ+45°)
= (tanθ + tan45°) / (1 - tanθ*tan45°)
= (1/5 + 1) / (1 - (1/5)*1)
= 3/2

よって直線の式は y = 3/2x となります。

kumaさんの説明のおかげで理解できました。ありがとうございました。

miyukiさん、おひさしぶりです。

合成公式　asinx+bcosx=√(a^{2}+b^{2})sin(x+α)
の、α　の求め方ですが、
xy座標平面に点（a,b）をとり、原点と結びます。
その線分とｘ軸の正方向のなす角が　α　です。

例１）　sinx+cosx
座標平面に点 A（a,b）=（1,1）をとり原点と結ぶと、∠AOx=45°ですね。
　∴　sinx+cosx=√2 sin(x+45°)

例２）　-√3 sinx+cosx
　座標平面に点A（a,b）=(-√3,1)　をとり原点と結ぶと、∠AOx=150°ですから
　-√3 sinx+cosx=2 sin(x+150°)　です。

すごくよく分かりました！ありがとうございました。

ゆきさん、こんばんわ。

sinx+√3 cosx=1 だったら合成しますよね？
この問題も形は同じだから合成するとまず考えたと思います。でも α が解らないからどうしよう？
というご質問だと思います。

この問題は解き方を知っていないと、その場では思い付かないかもしれません。
2sinx＋ sqrt{3}cosx=1
の両辺を２乗して、cos^{2}x で割って、1/cos^{2}x=1+tan^{2}x を代入し
tanx の2次方程式を作ります。

私が解いたら答えは、すごく汚い数になってしまいました。

ゆきさん、こんばんは。
簡単に説明しますと、ｃｏｓｘ＝ｐｍ　ｓｑｒｔ｛1-ｓｉｎ＾2ｘ｝ですから、
（ｐｍはプラス・マイナスだそうです）
代入して２ｓｉｎｘ-1＝-ｓｑｒｔ｛3｝（ｐｍ　ｓｑｒｔ｛1-ｓｉｎ＾2ｘ｝）
となり、両辺二乗してみて、ｓｉｎｘの値が０から1までということを、考えると
答えが出るものと思われます。

NAMAZUさん、本日は全問ご回答していただき、ありがとうございました。
今後もよろしくお願いします。

＞ゆきさん
NAMAZUさんの解法の方が数段速いですので、そちらで解いて下さい。

長年この仕事をしていると保守的になってしまって、この問題の解法はコレという思い込みから、なかなか逃れられません。
他の方々の回答から多くを学ばせて頂いている次第です。

新矢さん、NAMAZUさん、おふたりのおかげで問題解けました。ありがとうございました。また分からないことがあったら質問させていただきます。その時はまたよろしくお願いします。

sin67.5cos22.5=1/2{sin(67.5+22.5)+sin(67.5-22.5)}
=1/2{sin90+sin45}
=1/2{1+1/√2}

ナミさん、はじめまして。
マセマティカさん、はじめまして。回答していただきありがとうございます。

補足しておきますと、積和公式を使ったということです。

三角関数は、公式が多く覚えるのも大変ですが、
（積和、和積は覚えなくとも、加法定理からすぐ導けますが…）

☆　その公式はどういうときに使うのか？
を理解するのも大切です。

＞低レベルな質問でごめんなさい。
この掲示板は、高校数学範囲内であれば、教科書レベルであろうが入試レベルであろうが、受け付けております。
ナナさんの今回の質問も、解らないという生徒さんは、ナナさんの他にも大勢いると思います。
ナナさんは、その人たちの勇気ある代表者なのです。
今後とも、どんどん質問してくださいね。

やや２日酔い気味の新矢です。
『数学参考書レビュー』というのは，この掲示板でもたいへんお世話になっている高校および予備校の数学講師をされている水野先生のHPのことです。URLは下記。
そのトップページの下の方に‘最近の写真’というコンテンツがあるんですが，水野先生の書斎の本棚が写っている写真がありますので，まずそれを見てみましょう。びっくりしますよ。そのへんの本屋さんは到底叶わない位の参考書（すべて先生の私物）をお持ちです。水野先生はおそらく日本一の高校数学参考書の研究家です。どの参考書を使ったらいいのか？の質問にも掲示板で親身になって答えていただけます。

http://www2.odn.ne.jp/~cbf13380/

さて，質問の件ですが，次のような図を書いてください。
絵の上端をA,下端をB，壁上の目と同じ高さの点をC，目のある点をD，とします。
BC=b(=1.8),AC=a(=1.4+1.8=3.2),CD=x,∠CAD=α,∠CBD=β,∠ADB=θ　とします。
問題は，θを最大にするxを求めよということですね。数値代入は後回しにして，これらの文字で解いて行きます。

tanα=x/a , tanβ=x/b ですね。このとき θ=β-α の最大を求めるんですから，
　tanθ=tan(β-α)を加法定理で計算しましょう。
結果　tanθ=frac{(a-b)x}{x^{2}+ab} になるはずです。
この最大値を求めるんですが，逆数をとって　
frac{x^{2}+ab}{(a-b)x}=frac{x^{2}}{(a-b)x}+frac{ab}{(a-b)x}
　　　　　　　　　　　　=frac{x}{a-b}+frac{ab}{(a-b)x}
として，相加相乗です。
答は　x=√(ab) のとき最大になる。でいいと思います。

お酒の飲み過ぎには注意してください。少々なら健康に良いです。
水野先生のHPいってみました。本当にすごい量の本ですね。水野先生の
薦めている参考書を使ってみたい！
問題、わかりました。ありがとう。
解けるなんてすごいです
数学.すきですねえ

人様にお教えすることが好きなもんで塾講師という仕事だけで飽き足らずこのような掲示板をやらさせて頂いています。
でも本当は『数学』それ自体はあまり好きでもなく，得意でも無かったりするんですよ。