「nを3で割った余りは0,1,2のいずれかであるので、(n-1)n(n+1)は２と３の最小公倍数6の倍数」とはどういう意味でしょうか？

やっぱ日本語変ですよね？
ここはどう表そうかかなり悩んだところでして…＾＾；

それじゃあ上のやり方の方がいいって事ですか？
あと、他に変なところはありませんか？

上の解法は、どの参考書にも出ているものでして、というかほぼ全ての解法がこれですので、スタンダードであるという意味でよい解答かと思います。
まだ、まなみさんの解法がどのようなものなのか良く分からないので、なんとも言えませんが、自信がもてるような解答なら、また他の皆様にも聞いてみては如何でしょうか？
答えになってなくて、すみません。

助っ人の池田です。

私の意見としては、「スタンダードであろうがなかろうが、正しいものは正しい」です。
しかし、大変申し訳ございませんが、まなみさんの答案ではちょっと……ですね。

その理由を考えてみるために、割り算の定義を再確認してみましょう。例えば
　　　11÷3=3…2
という小学生の算数を考えてみます。これは
　　　11=3×3+2
とも書き換えられるのでしたね。

これを一般化させてみます。(n-1)n(n+1) の場合を考えてみます。
n-1, n, n+1 をそれぞれ３で割った商を q_1, q_2, q_3, 余りを r_1, r_2, r_3 としてみます。
そのとき
　　　n-1=3q_1+r_1,
　　　n=3q_2+r_2,
　　　n+1=3q_3+r_3
となります。
（尚、ここでは「１つずつしか数が違わないじゃないか」という突っ込みはなしです）
で、これらを掛けてみます。すると
　　　(n-1)n(n+1)=(3q_1+r_1)(3q_2+r_2)(3q_3+r_3)
となります。
まなみさんのおっしゃるのは
「r_1, r_2, r_3 は 0, 1, 2 なのだから、どこかに 0 や 2 を含むじゃないか、だから２の倍数なんじゃないか」
ということなんだろうと思いますが、２の倍数であることを示すのに
　　　2n（n は整数）
という形に表せない以上、証明したことにはなりません。
もししたいのなら、例えば r_1 が２の倍数なのならば
q_1 も２の倍数でなければなりませんが、
この証明ではそんなことはいえないですからね。

ところで、昨日とあるピアノの発表会を聴きに行きました。
トリのハイドンのソナタに感激してしまいました〜♪

追加です。

解答のような解き方が何故「スタンダード」であるかと言いますと、
n(n+1) が２の倍数であることを言うのにも
「n=2k, 2k+1 と置いて……」ということを使っているからなのです。
そして、この問題のように３項までの関係だけでなく、
４項以上の場合にも応用できるからです。
例えば
　　　n(n+1)(n+2)(n+3) は 4!(=4・3・2・1)=24 の倍数
　　　n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) は 5!=120 の倍数
というようにですね。

実はこの問題、宿題で指名されてたもんだいだったんです‐‐；
でも皆さんが教えてくれて考えて今日授業で黒板に書いたら
バッチグ〜＾．＾q　でした！
ありがとうございました！
証明は難しいです…。

＞池田先生
最近は文化祭の準備等で帰宅が遅くてピアノの練習が出来なくて
悲しい日々を過ごしています；＿；
早く土日になれー！といつも思っております＾＾；

２の倍数を示す部分はそれで正解ですね．

３の倍数に関しても同様です．n>3であることから，nとn+2はいずれも３の倍数ではありません．

とすると・・・・

・3つの連続した数は、その数が3以上の時、かならずいずれかに3の倍数が含まれている。
ｎ、ｎ+2は3の倍数ではないので、残りのｎ+１は3の倍数となる。」
でいいんでしょうか？

どこまで要求されているかにもよるんですが，基本的にはそれでよいと思います．

厳密に説明しようとするなら，
nは３の倍数ではないので，nを３で割った余りは１か２である．１であると仮定するとn+2は３の倍数でn+2>5よりこれはn+2が素数であることに反し矛盾．
となると思います．

パソコンの調子が悪くて返信が遅くなりました。

おりがとうございました！

回答、遅くなってしまいました。
これは数学的帰納法の練習問題なんですか？
私は次のように解きました。

通分します。
frac{6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}　
分子を因数分解します。まず、n　で括れますね。

分子=6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n
　　=n(6n^{4}+15n^{3}+10n^{2}-1)
n=-1　を代入すると　０　になりますから、組立除法で因数分解
　　=n(n+1)(6n^{3}+9n^{2}+n-1)
6n^{3}+9n^{2}+n-1　は　n=-(1/2)　を代入すると０になります。
ゆえに
分子=n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)　となります。
つまり、問題は次のようになります。

○　n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)　が３０の倍数であることを示せ　

ここから２段階で証明します。
�@　n(n+1)(2n+1)　が６の倍数であることを示す。
�A　n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)　が５の倍数であることを示す。

この方法でやってみて下さい。

はにぃぷぅさんは高校１年でしたね。
ということは、３次式、４次式の因数分解（組立除法）は数Bで学習しますから、ご存知ないですよね。

では、帰納法でやってみます。
通分してもしなくてもいいです。通分してやってみましょうか。
通分すると、
frac{6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}　が自然数であることを示すのですから

○　6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n　が30の倍数であることを示す

n=1　のとき成立しますね。
n=k　のとき、6k^{5}+15k^{4}+10k^{3}-k　…�@　と仮定して、
n=k+1　のとき
6(k+1)^{5}+15(k+1)^{4}+10k^{3}-(k+1)　…�A　が30の倍数であることを示せばいいのですが、ひたすら展開します。
(k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1　は知っていますね。
(k+1)^{4}=k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1
(k+1)^{5}=k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1
4乗、5乗展開は今数列をやっているのでしたら、もう直ぐ二項定理というのを学習すると思いますが、それを使うと簡単に求まります。
（パスカルの三角形をご存知でしたらそれを使います）

さて、これらを�Aに代入して計算していくだけなのですが、�@の仮定を使うために、
6(k+1)^{5}+15(k+1)^{4}+10k^{3}-(k+1)=(6k^{5}+15k^{4}+10k^{3}-k)+30(　)
とまとめなければなりません。

新矢先生(*^ー^*)ありがとうございました。
解けました〜(｡･_･｡)ｖ
これからもよろしくお願いしますm(__)m

助っ人の池田です。

まず m と n が「互いに素」というのは OK ですか？
つまり、2/3 や 1/4 なら大丈夫ですが、2/4 や 3/9 のように、
これ以上約分できる形ではダメ、というふうにおきます。

x^2+ax+b=0 に x=n/m を代入しますと
　　　(n/m)^2+a(n/m)+b=0
　　　frac{n^2}{m^2}+frac{an}{m}+b=0
　　　n^2+amn+bm^2=0
と、ここまで変形できます。

ここからどうしましょうか？
実は、n だけの項と m を含む項に分ける為に、次のように変形します。
　　　n^2=-amn-bm^2
　　　　　=-m(an+bm)
となり、n^2 が m の倍数になります。
つまり、これは「n が m の倍数」ということになりますが、
これでは n と m とが互いに素であるという仮定に反しますので、
x^2+ax+b=0 の有理数解は整数となります。

n/mとおくからには、nとmは互いに素であることに注意して・・・、
xに代入して分母を払うと、n^2 + a mn +b m^2 =0 になります。
ここで、よく見ると "a mn" と "b m^2" は m の倍数で、
右辺も 0 なので、"n^2" も m の倍数であることがわかり、
ここから m=1 はすぐに出ます。

レスありましたね。
こりゃ失礼！

管理人の新矢です。Kaiserさん回答ありがとうございます。
回答してくださる方が増えるとたいへん嬉しく、この掲示板を開設してよかったと思います。今後ともよろしくお願いいたします。

HNは『マインカイザー、ラインハルト！』からですか？

有り難うございました。今学校で使っている問題集は分からないのがありすぎです。友達もみんな困ってます・・・泣　

この手の問題では，方程式を一旦，複素数の範囲で解いてしまって，それを整数解に限定するという作戦が有効です．

解の公式より，
X = 1+sqrt(6-A^2+A) , X = 1-sqrt(6-A^2+A)
と分かります．したがって，sqrt(6-A^2+A)が整数であれば良いということなので，6-A^2+Aが平方数であればよいということになります．
6-A^2+A = -(A+2)(A-3) = -(A-frac{1}{2})^2+6+frac{1}{4} となる．
異なる整数解を持たなければならないので，まず， -2 < A < 3 と分かります．また平方完成の結果から(グラフを書いてみると良く分かりますが)，条件に合致する平方数は4,1のみであると分かります．
故に，6-A^2+A = 4 をAについて解いて，A = -1 , A = 2 ．
6-A^2+A = 1 をAについて解いて，A = frac{1}{2}(1-sqrt(21)) , A = frac{1}{2}(1+sqrt(21)) ．

また，重解を許すならば．A = -2 , A = frac{1}{2}(1-sqrt(21)) , A = -1 , A = 2 , A = frac{1}{2}(1+sqrt(21)) , A = 3 の6つが条件を満足します．

2次関数だから解の公式が使え，2次関数だから簡単にグラフを書いて考えられる．なかなかの良問だと思います．3次以上の問題になるとこうはいかない．

そのうち，数学Bで登場するかと思いますが，
2次方程式の解の公式は，複素数という数の範囲で方程式を解いていることになります．
複素数は実数を部分集合に含み，実数は有理数を部分集合に含む．また，有理数は整数を部分集合に含み，整数は自然数を部分集合に含みます．

うす＠さん、こんばんわ。
ＮＡＭＡＺＵさん、算太郎さん、回答ありがとうございます。

＞算太郎さん、ＨＰ拝見させていただきました。数学をご専攻なんですね。
マイナス×マイナスがプラスの理由など気にしたこともなかったんですが、たいへん勉強になりました。
　
ところで、うす＠さん、
定数Ａを求めよ。なんですね。整数Ａを求めよではありませんね？
解き方が変わってくるもんですから…。

＞整数解ということばがひっかかり解法がつかめません。
ただ単に、受験生をビビらすために整数と言う言葉を使っている問題も多いです。
それらの似非整数問題は、整数といったて実数には違いないのだから、気にせずに解いていけば知らずに答えが求まります。

この問題もとりあえず整数解はおいておいて、実数解をもつ条件を求めます。
判別式（解の公式の√の中）＞０　より
D=4-4(A^{2}-A-5)>0
A^{2}-A-6<0
-2<A<3
『整数Ａを求めよ』なら、A=-1,0,1,2
なので、これら４つの場合について、それぞれを方程式に代入し直して、
ｘを求め、ｘが整数になったらそのＡが答です。

『定数Ａを求めよ』なら、ｘを整数にするためには、
解の公式の√の中　-A^{2}+A+6　が平方数にならないといけないので、
算太郎さんのレスにあるように、これのグラフを描くことによって

-A^{2}+A+6　の値は　１か４しか可能性がありません。

�@　-A-{2}+A+6=1　のとき、つまりA=(1±√21)/2　のとき
　A^{2}-A-5=0　ですから、もともとの方程式
　X＾｛2｝−2X＋A＾｛2｝−A−5＝0　は
　x^{2}-2x=0　となり、整数解　x=0,2　を持ちます。
　
�A　-A-{2}+A+6=4　のとき、つまりA=2、-1　のとき
　それぞれのＡをもとの方程式に代入してｘを求めることにより、
　どちらの場合も整数解を持つことがわかります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
難関大学を目指しているのでなければ、
１年生の間に絶対に解けなくてはいけない、という問題ではありません。
のであまり気にしなくてもいいでしょう。

keiko さん，はじめまして。
これは，不定方程式とよばれるもので，単元的には（何故だか）数Aの『数と式』に含まれています。

解き方は，暗記ものになってしまいます.

ab=2a+4b-5
ab-2a-4b=-5
(a-4)(b-2)-8=-5 ←“無理やり因数分解”，展開すると戻ります。
(a-4)(b-2)=3

a,b は整数だから
(a-4,b-2)=(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)
(a,b)=(5,5),(7,3),(3,-1),(1,1)
正の整数ですから(3,-1)は不適です。

ありがとうございました。
解りやすい説明ありがとうございました。
とっても参考になりました。

反骨精神さん，はじめまして。実は僕も宅浪の経験があります。10月ぐらいになると，精神的にかなり参ったことを覚えてます。それこそ反骨精神で乗りきりました。

サマリーが手元に無いもので，ご希望の回答とは違ってしまうかも知れませんが…。私だったら２つの不定方程式を解いてしまいます。

（以下，出てくる文字はすべて任意の整数とする）
2x+3y=17m …　�@　　を解くと(解き方は省略して結果だけ書くと)
x=3p+4m , y=-2p+3m　　となります。
ゆえに，2x+3y が17で割りきれるような整数(x,y)の集合Aは
A={(x,y)|x=3p+4m , y=-2p+3m ,p,mは任意の整数}

同じく，9x+5y=17n を解いて，
x=-5q+3n , y=9q-2n となります。
ここで，x=-5q+3n=3(n-3q)+4q=3(n-3q)+4q=3p'+4m'
y=9q-2n=-2(n-3q)+3q =-2p'+3m'
となり，集合Aの要素である。

ちょっと最後がその場凌ぎ的ですね。

新矢先生ありがとうございます｡

大数の方法とも違いますね(笑）｡
ちなみに大数には解が2つ載っていて、ひとつが片方の式についてy消去する方法で、もう一つが17を法とした合同式を利用する方法です。

こんなこと申して失礼なのですが、今のところ正直言って(先生の解答も含めて)どの解答もよく分かりません｡
試験場でおそらく書けないであろうと言うか…。

もう一度がんばって考えてみます｡

秋になるとモチベーションが下がると聞いたことがあります。>10月ぐらいになると，精神的にかなり参ったことを覚えてます。
今はとにかく夏の模試に向けてがんばっています｡

水野です。
こちらで、動画での説明を試みてみました。記念すべき問題になりました・・・。

http://isweb15.infoseek.co.jp/school/nexe2/movie/Answer-test.mpg

時間の関係上、サマリーの解答の言っている意味だけにしぼってみましたが、まあ
分からないにせよ疑問点はより明らかになるはずです。

水野先生，本当にありがとうございます。
掲示板の質問に動画で答えるというのは“世界初”かもしれませんよ。
僕は説明しにくいときは，TEX『文書』＋グラフで説明していますが，情報量や本当に言いたいことというのは，『動画』には叶いませんね。
費用の面はおいておいて，　時間的には『文書』を作成するよりも『動画』を作るほうが“速い”んでしょうか？

動画は速い？？

文章だと、こまかい記号が書きづらかったり、強調もしにくかったりと、やってて
正直「やりづらいなあ」と思うことが多かったんですけど、
＃ 言葉を尽くして説明したいタイプなんで、特に・・・
授業なら普段からやっているから「慣れ」もありますし、心なしか「落ち着いて」
やれる気がします・・・。

ちなみに、今回のは、１日の空き時間で考えた内容を、以前に別の先生に教えても
らった？？考え方・説明の仕方をもとに、２分にまとめました。板書はあらかじめ
全部書きましたよね。ふだんの授業ではあれが「逆に、できない」んですが、ビデ
オとして作りこむ場合には使える手法です。
＃ 授業は黒板が写せないと「おしまい」ですが、これは一時停止したり、何回か
＃ 見直したりできますから（！）。

水野先生ありがとうございます。

非常に分かりやすかったです。
(M,N)を定めると(x,y)は求まっても一組というところの認識が欠けていました。
自分なりの解答を作ってみたので、まずいところを指摘していただければ幸いです。

「　”2x+3yが17で割り切れるような整数x､yの組(x､y)全体の集合と9x+5yが17で割り切れるような整数の組(x､y)全体の集合は等しい…(*)”を示す。
　M=2x+3y
　N=9x+5y　とおくと
　x=-(5M-3N)/17 …�@
　y=-(-9M+2N)/17 …�A　となる。
ここで、”ある(M,N)を定めるとそれに対応する(x,y)は一通りに定まる…(**)”。
また、
　”Mが17の倍数であり、かつNが17の倍数でない”、
　”Mが17の倍数でなく、かつNが17の倍数である”
の場合はx,yが整数とならないので不適である。
　よって、�@、�Aのx､yが整数であるには､Mが17の倍数の時､Nも17の倍数でなければならないし逆もいえ、(**)より(*)が成立する。」

証明問題の論述は難しいです。
自分で理解している(？)つもりでもうまく書けないです。

水野です。おそらくそれで大丈夫だと思います。

もしこの動画ファイルがいつでも見たければ、そちらのマシンにダウンロードして
おいてください。今の環境では、サーバーの容量に限界がありまして・・・。

ありがとうございました。

また疑問があれば質問させていただきます。
ありがとうございました。