はじめまして．

a，b，cと３文字あるから一度に求まらないわけですよね．
だから，そのうち２つの文字が消えてしまえば残りは１つですから
普通の一次方程式です．どうやったら文字を消せるのでしょうか．

ヒント・・・まず a，bを消してcを求めます．その後はaを消してbを求めます．

Viperさん的確なアドバイスありがとうございます！

おかげですぐに解けましたｗ　
ありがとうございました〜♪

それはよかったですね．

ちなみにこの問題は右辺を普通に展開し，各項の係数を比較しても解くことができます．
「恒等式に関する問題」では，
・数値を代入する
・係数を比較する
の２つの方法が一般に有効です．

ところで，細かい話になりますが，
x=-1を代入して，c=-1となり，これを代入して，
x^{2}+x-1 = a(x-1)(x+1)+b(x+1)-1
x=1を代入して，
1=2b-1よって，b=1
これを代入して，
x^{2}+x-1 = a(x-1)(x+1)+(x+1)-1
x=0を代入して
-1=-aよって，a=1

だけでは厳密な正解にはなりません．答えの値のみを答える試験であればこれでもかまいませんが，a，b，cを代入して，右辺を展開し，確かに左辺と一致することを確認しなければなりません．
　数値を代入して求めただけでは，与えられた等式が限られたxの値でなりたつことだけが示されたにすぎません．ここで得られた解は「与えられた等式がxについての恒等式になるための必要条件」なのです．
　例えば，
x^{2}+x=b(x+1)+c
という問題を仮定すると，x=-1を代入して，c=0，このとき，
x^{2}+x=b(x+1)
x=0を代入して0=bとなってしまいますが，このときの
x^{2}+x=0
は当然正しい恒等式ではありません．これは，そもそも問題の設定自体が「ありえない設定」であることが原因です．このように「ありえない設定」でないことを述べるために，右辺の展開による「十分性の確認」が必要になるのです．

　この問題に関して言えば，b，cを数値を代入することで求めた後で，aを残したまま展開して係数を比較するのがもっとも楽であろうと思われます．これならaを求める過程が「十分性の確認」も含んでいることになりますね．

たしかに恒等式の証明の問題もありました。

詳しい補足どうもありがとうございました！！
非常に参考になりました。

アヤノさん、はじめまして。

右辺を展開すればいいのですが、a　についてまとめながら展開していきます。

-(b-c)(c-a)(a-b)=(b-c){(a-c)(a-b)}
　　　=(b-c){a^{2}-(b+c)a+bc}
　　　=(b-c)a^{2}-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
　　　=(b-c)a^{2]-(b^{2]-c^{2})a+b^{2}c-bc^{2}
　　　=ba^{2}-ca^{2}-b^{2}a+c^{2}a+b^{2}c-bc^{2}
左辺を展開すれば、同じ形になります。

別解として、左辺を因数分解するという手もあります。
左辺を　a　についてまとめてから因数分解です。

a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)
=(b-c)a^{2]-(b^{2}-c^{2})a+b^{2}c-bc^{2}
=(b-c)a^{2}-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
=(b-c){a^{2}-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)=-(a-b)(b-c)(c-a)

等式の証明の原則は“展開”ですから、前者の解法がおすすめです。

質問に答えてくださって有り難うございました！
おかげで何とか問題を解くことが出来ました。
これからも時々お邪魔すると思いますので、宜しくお願いします。

水野です。

２乗して足したものが奇数であるときに、ｍ，ｎの両方が偶数か、両方が奇
数になったら都合が悪いわけですね。でも、ｍ，ｎの両方が偶数になることはあり
えません。だって、偶数の２乗は偶数だから、それを２つ加えたものは必ず偶数に
なるはずでしょう？？
＃ 同様、両方が奇数になったりもしません。
・・・ということは、２乗と２乗の和が奇数であるときは、その他の組み合わせ、
つまり、どちらか一方が偶数、もう一方が奇数のときしかありえないわけです。
「対偶を利用」と言われたら、こんなふうに、出てきそうにない結果を考え、本当
にそうならないことを、逆の立場から示せばいいわけです。

ありがとうございました☆
これからもよろしくおねがいします！！！

背理法というものの考え方は大丈夫ですか？

証明問題には仮定と結論がありますが，結論を否定して始めることにより，仮定に矛盾するということになります．
あるいは，仮定と「結論の否定」を連立すると話がおかしくなってしまう，と考えるとわかりやすい問題もありますね．

この問題では，
仮定：a^{2}>bcかつac>b^{2}
結論：a≠b
ですね．だから，結論の否定であるa＝bからスタートする部分はＯＫです．
目指すべきは，仮定の矛盾ですから，仮定の否定を示せばいいわけです．
仮定の否定は，「かつ」が「または」になることに注意して，
a^{2} leqq bcまたはac leqq b^{2}となります．

はじめまして，alphaと申します．

等式，不等式の証明は「成立すること」を示すのが主旨になるわけですから，白さんの答案の書き方だと「示すべき内容（たとえばこの問題では不等号の向き）が成立すること」を前提にしていることになり，主旨に反します．

なお，実際の試験では同値記号（⇔）を用いて

a^{2}+b^{2} \geqq 2ab
⇔a^{2}+b^{2}-2ab \geqq 0
⇔(a-b)^{2} \geqq 0

という書き方もできなくはありませんが，同値の意味（必要で，かつ十分）が理解不十分だと，誤って使うことになるので最初のうちはお勧めはできません．

ありがとうございました。
お手数かけます

助っ人の池田です。
これは思いっきり図形の問題ですから、手元に紙を用意して下さい。

ここで f(x) 上の２点 A, B を A(a,f(a)), B(b,f(b)) としましょう。
そして、A と B を直線で結び、A:B が q:p（←順番に注意！）に内分するような点 P を取ります。
それなら、点 P の座標はどうなるでしょうか？
そうです。ここで内分公式を使うのです。P の座標は
　　　 (frac{pa+qb}{q+p}, frac{pf(a)+qf(b)}{q+p})=(pa+qb, pf(a)+qf(b))
となります。

図を描いてもらえればわかるように、P の点より放物線は「下」（または同じ）にあります。
f(x) の２次の項が 2>0 であることからこのことが言えます。
ここで、P と同じ x 座標をもつ放物線 y=f(x) 上の点を Q とおくと、Q の座標は
　　　(pa+qb, f(pa+qb))
となります。P の y 座標が Q の y 座標より大きい（または同じ）ですから、
　　　pf(a)+qf(b)≧f(pa+qb)
となって、証明されました。
尚、等号が成立するのは P=Q となるときですから、P を Q に近づけて考えれば、
これはもう a=b のときしかないでしょう。
（ここで曖昧な表現になったのは、「本来は計算で確かめるべき所」という意味合いを込めたからです）

この不等式を満たす関数を「凸関数」といいます。

そうです。「下に凸」だから凸関数なんです。

助っ人の池田です。

まず、不等式を２つに分けて考えてみましょう。
　　　sqrt{x^{2}+y^{2}}≦|x|+|y|
　　　|x|+|y|≦sqrt{2(x^{2}+y^{2})}
の２つです。
これらは全て０以上ですから、両辺を２乗した方程式
　　　x^{2}+y^{2}≦(|x|+|y|)^2
　　　(|x|+|y|)^2≦2(x^{2}+y^{2})
とも同値になります。ですから、これを求めればよいのです。
（まだ証明じゃないですよ！！ 準備段階です）

ここから証明に入ります。１つ目は
　　　x^{2}+y^{2}≦(|x|+|y|)^2
を証明したいのですから、とにかく
　　　(|x|+|y|)^2-(x^{2}+y^{2})
を計算しましょう。
　　　 (|x|+|y|)^2-(x^{2}+y^{2})
　　　=x^2+2|x||y|+y^2-(x^2+y^2)
　　　=2|x||y|≧0
　　　∴x^{2}+y^{2}≦(|x|+|y|)^2
　　　∴sqrt{x^{2}+y^{2}}≦|x|+|y|
これで１つ目が証明できました。

２つ目は
　　　(|x|+|y|)^2≦2(x^{2}+y^{2})
が証明したいのですから、１つ目と同様に「右辺」−「左辺」を計算して
　　　 2(x^{2}+y^{2})-(|x|+|y|)^2
　　　=2x^2+2y^2-(x^2+2|x||y|+y^2)
　　　=x^2-2|x||y|+y^2
　　　=(|x|-|y|)^2≧0
　　　∴(|x|+|y|)^2≦2(x^{2}+y^{2})
　　　∴|x|+|y|≦sqrt{2(x^{2}+y^{2})}
となって、証明が完了しました。

すっごく役に立ちました!!
これからもよろしくおねがいしますっ！

chigaさん、はじめまして。

左辺ー右辺= a^3+b^3+c^3+(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}-3(abc)^{2}-3abc
となるかと思います。
これは、因数分解はちょっとできませんよね。

不等式の証明で、a>0 , b>0 という条件がついていると、相加相乗を使う場合がありますが、この問題は３文字の相加相乗を使います。

x>0 , y>0 , z>0 のとき、
x+y+z≧3sqrt[3]{xyz}
等号条件は x=y=z
というものです。
証明は因数分解の公式 a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
に、a=sqrt[3]{x} , b=sqrt[3]{y} , c=sqrt[3]{z} を代入します。

上で出てきた sqrt[3]
（正確な表記は数式の表記法の“累乗根”をみてください）
は３乗根というもので、
sqrt[3]{x}は、xの3乗根といい、3乗して x になる数を表わします。詳しいことは数学�Uで学習します。

この問題は、この３文字の相加相乗を使って
a^3+b^3+c^3≧３ sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=3abc
(ab)^{3}+(bc)^{3}+(ca)^{3}≧3 sqrt[3]{(abc)^{6}}=3(abc)^{2}
より、左辺−右辺≧0 とするのですが、数学�Uで「累乗根」を学習するまで、おいておいてもいい問題かな？ と思います。

まだ三乗根は習ってないけどこの説明で分かりました　でも今学校で使っている問題集はこんなのばっかりです…泣

上の説明で解ってくれたとは、優秀ですね。

私が通っていた高校も公立なのに難しい問題の演習が中心で、１年の５月でコケテしまいました。はっきりいって、数学は独学に近かったです。
当時は基礎・基本理解の参考書は、矢野健太郎教授の“解法の手引き”しかありませんでした。が、基礎理解といってもレベルが高く苦労しました。

chiga さんは大丈夫と思いますが、もし基礎が解ってないぞ、と少しでも感じたら、即座に参考書などで解決しましょう。今は、“理解しやすい”や“ニューアクションβ”などの名著が多いので、その点は恵まれていますね。

K〜Yさん、こんばんわ。
数学�U、�Vでも不等式の証明は出てきます。その基本となる考え方を１年でマスターしておかねばなりません。難しいと思いますが、頑張って勉強して下さい。


不等式の証明の基本は、左辺−右辺を因数分解または平方完成です。

x^{4}+y^{4} ≧ x^{3}y+xy^{3}
これは、左辺−右辺を因数分解です。
左辺−右辺=x^4+y^4-x^3y-xy^3=x^3(x-y)-y^3(x-y)
=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)(x-y)(x^2+xy+y^2)
=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)
右の（）を平方完成
=(x-y)^{2}{(x+frac{y}{2})^{2}+(3/4)y^{2}}≧0

・sqrt{ab} ≧ 2ab/a+b
（左辺）^{2}-(右辺)^{2} でもいいのですが、左辺−右辺でもできます
左辺−右辺=sqrt{ab}-2ab/(a+b)=frac{sqrt{ab}(a+b)-2ab}{a+b}
分子を√範囲で無理矢理因数分解すると、
=frac{sqrt{ab}(a+b-2sqrt{ab})}{a+b}
=frac{sqrt{ab}*(sqrt{a}-sqrt{b})^{2}}{a+b}≧0

・sqrt{a+b} > (sqrt{a}+sqrt{b})/2
左辺−右辺を作っても、因数分解・平方完成が出来ませんから、
(左辺)^{2}-(右辺)^{2}=a+b-frac{a+b+2sqrt{ab}}{4}
=frac{4(a+b)-a-b-2sqrt{ab}}{4}
=frac{3a-2sqrt{ab}+3b}{4}
ここから先の変形は平方完成なんですが、もう少し高校数学の勉強を積んでからでないと、変形が解りにくいかもしれませんね。√範囲で無理矢理平方完成します

=frac{3(√a-√b)^{2}+√(ab)}{4}>0

このように、不等式の証明は結構計算力が要求されます。

ｘｙ−(ｘ＋ｙ)＝ｘｙ−ｘ−ｙまでは
分かったんですね。
では、変形していきます。
ｘｙ−(ｘ＋ｙ)＝ｘｙ−ｘ−ｙ
　　　　　　　＝ｘ（ｙ-1）-（ｙ-1）-1
　　　　　　　＝(ｘ−１）(ｙ−１）−１
のようになります。
＝ｘ（ｙ-1）-（ｙ-1）-1の操作は
（ｙ-1）を意図的に作り出しただけです。

まなさん、こんばんは。

xy-ax-by=(x-b)(y-a)-ab

の変形を個人的に“無理やり因数分解”と呼んでいます。
（因数分解されてませんから、この命名はおかしいんですが）

不定方程式の問題（数Ａ？）や、複素数平面（数Ｂ）の問題でたまに必要となる変形です。公式として覚えた方がいいかもしれません。
なんだか、シックリこない印象を持つと思いますが、そのうち気にならなくなります。

覚えて頑張ります！！！ありがとうございました。

＋１−１がなぜでてきたのか分かりました。

ｘｙ−(ｘ＋ｙ)＝ｘｙ−ｘ−ｙ＋１−１＝(ｘ−1)(ｙ−1)−１

となりました。
でもその後にｘ＞２，ｙ＞２より　ｘ−１＞１，ｙ−1＞１
ゆえに(ｘ−１）(ｙ−１)−１＞１−１＝０
よってｘｙ＞ｘ＋ｙ

となってたんですが、なんでｘ−１＞１，ｙ−１＞１なんですか？？
普通どおりに　ｘ−１＞０、ｙ−１＞０じゃだめなんですか？？？教えてください。

こんにちは。
示したいものはなんですか？
それは（ｘ−１）(ｙ−１)−１＞０ですね。
これを何とかしてｘ＞２，ｙ＞２から出せばいいわけです。
これ、本当は明らかですね。
まあ、せっかくですから解答と同じように求めましょうか。
（ｘ−１）(ｙ−１)が1より大きいことを示しましょう。
ｘ＞２＝1+1ですから、ｘ−１＞１がでてきます。
ｙ−１＞１も同様にでてきます。
すると、（ｘ−１）(ｙ−１)が1より大きいことが示されたことに
なります。
どのように”普通”なのかは、よく分かりませんが
ｘ−１＞０、ｙ−１＞０では上のことは
示せません。
数学において、「強い目的意識」は非常に重要です。

こんにちは。
証明で、まず、しなければならないことは何ですか？
それは、結果の変形です。
1）ab+1>a+b⇔ab+1-a-b>0⇔（a-1）*（b-1）>0
　　-1<a，ｂ<1より上は証明される。
　つまり、回答としては
　ab+1-a-b＝（a-1）*（b-1）>0とすればいいわけです。
2）（1）と同様の変形により
　abc+1-a-bc＝（bc-1）*（a-1）>0
3）これは(1)、（2）の結果を使います。
　abc+2>a+bc+1>a+b+c
　一つ目の不等号は（2）、二つ目は（1）で証明されます。

　

すごく丁寧に教えていただいてありがとうございます。説明のおかげで理解することができました。また、わからないことがあったら教えて下さい。