リムさん、こんばんは。

>√８１の4乗根
確認ですが、これは、√の外の左上に小さく４と書いてあって、√の中が８１という意味ですよね。

この掲示板では　それを　sqrt[4]{81}　と表記します。
数�Uの教科書をもう一度読んでみましょう。
sqrt[n]{a}　は　n　が偶数か、奇数かで定義が違います。
偶数乗の場合は正の方を表すことにしています。

√4　（２乗根）は２を表し、−2　ではありませんね。それと同じです。

○　紛らわしいものは、√記号を使わず、日本語で
８１の４乗根は？
と問われた場合です。
このときは、x^{4}=81　の虚数解も含めてすべて答えねばなりません。
x^{4}=81　
x^{4}-81=(x^{2}-9)(x^{2}+9)=(x-3)(x+3)(x^{2]+9)=0
を解くと、x=3,-3,3i,-3i　です。

○　まとめ
81の４乗根は　3,-3,3i,-3i　の４つ
sqrt[4]{81}　は　3　の一つだけです。

「数学参考書レビュー」の水野と申します。

y=log{2}x のグラフが、(1,0),(2,1),(4,2),(1/2,-1) などの点を通ることはわ
かりますか？？

y=log{2}(x+1)のグラフは、ｘに１を足したものから、さっきと同じようにｙが求
まるように！って考えて点を決めればいいわけですから、
＃ 具体的には(-1,0),(1,1),(3,2)・・・
そうです。y=log{2}xのグラフを、ｘ軸方向に−１平行移動すればいいんです！

大体、今言ったような点をつないでグラフを作ればいいんですが、描くときにあま
り左下に伸びすぎると「×」にされるので注意が必要です。もともとのy=log{2}x
のグラフって、下の方はｙ軸にへばりつくような形だったでしょ。だから、今回の
グラフも、ｙ軸をｘ方向に−１平行移動した、「ｘ＝−１」という直線（分かりま
すか？）にへばりつくように描きましょう。

教えてくれてありがとう。でもまだわからない。どうして（-1、0）、（1、1）
とか通るってわかるの？y=log{2}xはx＝2^{y}で一個ずつけいさんしてわかるん
ですけど....

問題の方も、x+1=2^yで１個ずつ計算してわかります。

助かりました。ありがとうごさいます。数学ッて本当に難しいです

logの扱いについて、ポイントを１つ言っておきましょう。

＊ a^{b}=c log{a}c=b

という２つの式があるのですが、混乱するときはまず「例」を考えましょう。
＃ a=2 b=3 c=8 あたりが良いと思います。

・・・そのうえで、

＊ 左の式を「２を３乗します」「８になりますね」
＊ 右の式を「２を何乗すると８になりますか？」「３乗です」

というふうに読んでやるのです。この「何乗」、もっと言えば、左の式の右肩につ
いていたものが、logなわけですよ。

この言葉、生徒さんにもけっこう評判が良かったのですが、２と３と８、２と８と
３が、その式に出てくる順番になるように言葉を考えてみたら、こうなりました。
なんだか、中学校の英語の授業みたいですね・・・。

ようこさん、はじめまして。

(log_{4}x)^{2}=log_{2}(ax)

(1) x=1 が解なので、代入しましょう。
左辺=(log_{4}1)^{2}=0^{2}=0
右辺=log_{2}x
ゆえに log_{2}x=0 を解いて、x=2^{0}=1

後半も同様に、x=4 を代入すると
左辺=(log_{4}4)^{2}=1^{2}=1
右辺=log_{2}4a
ゆえに log_{2}4a=1 より、 4a=2^{1]=2 ∴ a=1/2

(2) a=8 を代入すると、
(log_{4}x)^{2}=log_{2}8x
底を２にそろえましょう。左辺は底の変換公式を使って
(log_{4}x)^{2}=(log_{2}x/log_{2}4)^{2}=(log_{2}x)^{2}/4
右辺=log_{2}8+log_{2}x=3+log_{2}x
∴ (log_{2}x)^{2}/4=3+log_{2}x 両辺 ×４
(log_{2}x)^{2}=12+4log_{2}x
log_{2}x=t と置き換えると
t^{2}=12+4t
この2次方程式を解けば、t=6 , -2
log_{2}x=6 より x=2^{6}=64 ,
log_{2}x=-2 より x=2^{-2}=1/4

(3) (2)と同じように底を２にそろえます。左辺は(2)と同じです。
右辺=log_{2}ax=log_{2}a+log_{2}x

(log_{2}x)^{2}/4=log_{2}a+log_{2}x ４倍して移項すると、
(log_{2}x)^{2]-4log_{2}x-4log_{2}a=0 ･･･�A
log_{2}x=t と置き換えて
t^{2}-4t-4log_{2}a=0 ･･･�B
この２次方程式が２つの異なる実数解を持つので、判別式＞０です。
D/4=4+4log_{2}a>0
log_{2}a>-1 解くと a>1/2

�Aの解が α、β ですから、�Bの解は log_{2}α と log_{2}β です。
解と係数の関係より、
log_{2}α＋log_{2}β=4 ･･･�C
log_{2}α・log_{2}β＝-4log_{2}a ･･･�D

与えられた条件 β＝4096α の両辺、底２の対数をとると（4096=2^{12}）
log_{2}β=12+log_{2}α ･･･�E
�C�Eより、log_{2}α=-4 , log_{2}β=8
これらを�Dに代入して、-4log_{2}a=-32
∴ log_{2}a=8 , a=2^{8}=256

こんにちは。
さっそく問題に取り掛かりましょう。
ｌｏｇ＿｛ａ｝ｂ＝ｃの意味はなんですか？
ａをｃ乗するとｂになるということです。
−４＝ｌｏｇ_{10}□では、10を-4乗すれば□になるわけですから・・・
あとは分かりますね。

最初の問題はわかりました。ありがとうございました。
対数不等式は
　　　　　　　　　
　１＜ｌｏｇ_{1/2}ｘ＜２　

を解けという問題なのですがこれも教えていただけませんか？

○　はるさん
＞まだ授業とかでやってないのですが宿題でてしまっていて

２学期の授業では、先生は最初からちゃんと説明してくださるのでしょうか？
それとも、教科書範囲は詳しく説明しないから、夏休みに予習しておくように！
ということなのでしょうか？

このような掲示板では小文字が表し難いので、小文字は_{}の表記をしています。
あくまで、この掲示板だけの取り決めです。
log ちっちゃい２分の１の大きいｘ　を　log_{1/2}x　と表します。

　　1<log_{1/2}x<2　を解け
左と右の１と２を対数で表してみます。
1=log_{1/2}□　はいいんですよね？　□＝1/2　です。
2=log_{1/2}□　も同様に、□＝1/4　ですね。
この不等式は
　　log_{1/2}(1/2)<log_{1/2}x<log_{1/2}(1/4)
となります。
真数（log_{}の後ろの大きい数字のことです）を比較すると、
1/2<x<1/4
となりますが、大小がおかしいですね。

★　底（logの次の小さい数字）が０と１の間の時は不等号を逆転しなくてはならないのです。

ですから答えは　1/4<x<1/2　となります。

★について、何故か？は対数関数のグラフが関わってきますので、このような掲示板では、説明が非常にしづらいので、学校の授業をよーく聞いてください。

ありがとうございました。あと、掲示板の書き方には今後気をつけます。
すみませんでした☆

学年書き忘れました(;￣O￣)高２です！答えは０＜ｘ＜１/４とｘ＞１/２の２つです。

助っ人の池田です。あきさん、はじめまして。

まず「真数＞0」であることより x＞0 が言えますよね？
そして、t^2-3t+2＞0 より t＜1, 2＜t も言えますよね？
x＞0 を使うのは最後までとっておいて、
まず t＜1, 2＜tを考えてみましょう。
例えば t＜1 ということは、つまり
　　　log_{1/2}x＜1
ということですね。これを底の変換公式で底を 2 に変換すると
　　　frac{log_{2}x}{log_{2}(1/2)}＜1
　　　frac{log_{2}x}{-1}＜1
　　　-log_{2}x＜1
　　　log_{2}x＞-1　（不等号の向きが逆になることに注意！）
　　　x＜1/2
となります。t＞2 についても同様にすれば x＜1/4 です。

そして、最後に真数条件の x＞0 を動員してやれば
　　　0＜x＜1/4, 1/2＜x
が求まります。

なるほどφ(．． )０＜ｘ＜１/４っていうのはできました♪
けど・・・１/２＜ｘがわかりません(T_T)log_{1/2}x＜1をといたら
ｘ＜１/２になって…なぜ答えでは符号の向きが変わってるのですか？？

水野です。

「対数関数の、底が１より小さいときの形」から判断しなさい！と言われる
ことが多いですが・・・。ここでは例で考えてみましょう。

「log{1/2}1/4=2」と「log{1/2}1/8=3」とで比較すれば分かりやすいと思
います。ｔの部分が２と３、それに対するｘが１／４と１／８です。私はlog
を教えるとき、

＊＊＊ 「１／２を何乗すれば１／４になりますか？？」「２乗です」

という文章を頭に思い浮かべてもらうようにしていますが、それで考えてみ
ましょう。１／４のところをもっと大きくしようと思ったら、０乗して１に
したり、マイナス１乗して２にしたりしないといけないでしょう？試験を
やっている最中、迷ったときにも、今みたいに具体的なもので考えられます
か？？この分野に限らず、これが出来ればかなり強くなれます。

わかりましたV(^0^)♪ようやく理解できました！本当にありがとうございましたm(._.)m

ここでは助っ人の水野と申します

＞初項３公比１．２

「常用対数」を使いましょうか。初項３を公比倍する代わりに、３の対数に１．２
の対数を足していくのです。対数の定義とその性質はご存知ですよね？

まず、ｌｏｇ１．２（対数の底は１０とします）を以下のように求めます。

ｌｏｇ１．２＝ｌｏｇ（１２／１０）
＝ｌｏｇ１２−ｌｏｇ１０
＝ｌｏｇ（２×２×３）−１
＝２ｌｏｇ２＋ｌｏｇ３−１

＃ ｌｏｇ２とｌｏｇ３の近似値は、教科書などで探してください。

ｌｏｇ３＋（ｎ−１）（２ｌｏｇ２＋ｌｏｇ３−１）＞ｌｏｇ２０

を満たす最小のｎを求めます。ちなみに、ｌｏｇ２０は

ｌｏｇ２０＝ｌｏｇ（２×１０）
＝ｌｏｇ２＋ｌｏｇ１０
＝ｌｏｇ２＋１

ですね。どんなもんでしょう？？

洋介さん、はじめまして。
水野先生、回答ありがとうございます。

＞初項３を公比倍する代わりに、３の対数に１．２
の対数を足していくのです。
解りにくい方もいらっしゃるかと思うので補足説明です。

この等比数列の一般項は公式を使って、
a_{n}=３･(1.2)^{n-1}
これが 20 より大きいので
３･(1.2)^{n-1}>20
この式の両辺の常用対数をとって
log3+(n-1)log(1.2)>log 20
あとは水野先生の回答のように変形して数値を代入します。

水野先生、新矢先生ありがとうございます。早速今日弟に教えてみます。本当にありがとうございました。