助っ人の池田です。

コンビネーションの変形はややこしいですね。
分数の表示がいろいろ出てきてややこしいですので、
掲示板の上の方の「数式の表記法」をよく読んでから以下の文章を読んでください。
　　　frac{1}{k+1}・frac{n!}{k!(n-k)!}
　　　=frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}
に変形されるのは大丈夫でしょうか？
ここでは k!・(k+1)=(k+1)! を利用しました。
k! が「1 から k まで順に掛けたもの」ですから、
その次の　k+1 を掛けたものは (k+1)! になりますよね？

次の変形です。
　　　=frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n-k)!}
に変形されるのは、分母分子に n+1 を掛けて、
先ほどと同じようにして分母の一部を n!・(n+1)=(n+1)! としたものです。

こうなれば、
　　　=frac{1}{n+1}・frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}
　　　=frac{1}{n+1}・{n+1}C{k+1}
となりますよね？
frac は、この掲示板専用（というか、元々は数式作成ソフト用）の表記で
分数を表しています。
これではわかりにくいと思いますので、一度紙に書いて
どんな変形をしたのかを実感してみて下さい。