a_n={1-(-C)^n)/(1+C)
ですね．これの和は等比数列の和とほとんど同じですよ．
1/(1+C)の部分と-(-C)^n/(1+C)
の部分に分けて和を求めれば，定数数列の和と等比数列の和の計算になります．

あきさん、こんばんは。
Viper先生、お世話になっております。

あきさんは数列が苦手だということですので、
Viper先生の回答で解からないときは、下も参考にしてください。

○　Σ_{k=1}^{n}r^{k}　は、和に直して等比の和を使う。

参考書などには、公式として結果を載せているものもありますが、
になったり、r^{k-1}　になったりする場合も多いので、
その都度、和に直してから、等比の和の公式を使いましょう。

Σ_{k=1}^{n}(-c)^{n}=(-c)+(-c)^{2}+(-c)^{3}+…+(-c)^{n}

これは、初項　-c、公比　-c、項数　n　の等比数列の和ですから、

　　=-c{1-(-c)^{n}}/{1+c}

○　等比の和を使うときの注意
S_{n}=a(1-r^{n})/(1-r)
としていいのは、分母が０にならない、すなわち、公比≠1　のときだけです。
公比=1　のときは別に考えなければなりません。
ご質問の問題では
a_{n}=1+(-c)+(-c)^{2}+…+(-c)^{n-1}
を、等比の和を使って、a_n={1-(-c)^n)/(1+c)　となったと思いますが、
それは　c≠-1　のときです。
c=-1　のときは
a_{n}=1+(-c)+(-c)^{2}+…+(-c)^{n-1}
　　=1+1+1+…+1=n
となります。
解かっていたかもしれませんが、念のため。

解き方教えてくれてありがとうございます。
また、よろしくおねがいします！！

こんにちは。
第ｎ群の項はすべて、もちろんｎですよね。又、第ｎ群の項にはｎ個の数が含まれています。従って、第ｎ群の初項の1つ手前の項の項数は、以下のように計算できます。
　　　　（1+2+3+4+5+・・・・+ｎ-1）＝1/2ｎ（ｎ-1）
だから、第ｎ群の初項は、1/2ｎ（ｎ-1）+1項目となるのです。
お分かり頂けましたでしょうか？

本当にありがとうございました。おかげでやっと解答に納得がいきました。

助っ人の池田です。

この問題は表記がわかりにくいので、ひとまず例を挙げて考えてみましょう。

（１）
　　　a_1=a_2=a_3=1,　　　（a_n=1 となる n は３個）
　　　a_4=…=a_8=2,　　　 （a_n=2 となる n は５個）
　　　a_9=…=a_{15}=3,　　（a_n=3 となる n は７個）

……と、ずーっとやっていくと、a_n=L となる n は何個でしょうか？
そうです。n=L^2 の時からはじまって、n=(L+1)^2 の時の手前
（つまり n=(L+1)^2-1）までずっと a_n=L ですから、求める個数は
　　　 (L+1)^2-1-L^2+1
　　　=(L+1)^2-L^2
　　　=(L+1+L)(L+1-L)
　　　=2L+1
個となります。

（２）a_{t^2-1} というのがどういう形をしているのかを調べるためには、
（１）で L=t-1 とおけばよさそうです。
つまり、
　　　a_{(t-1)^2}=…=a_{t^2-1}=t-1,　　（a_n=t-1 となる n は 2t-1 個）
となります。
では、そこまでの項を全部見てみると、
　　　a_n=1 となる n が３個なので　1×3＝3,
　　　a_n=2 となる n が５個なので　2×5＝10,
　　　　　　　　　　………
　　　a_n=t-1 となる n が 2t-1 個なので　(t-1)(2t-1)
となります。これらを全部足してやればよいのですから、求める和は
　　　 sum_{k=1}^{t-1}k(2k+1)
　　　=sum_{k=1}^{t-1}(2k^2+k)
　　　=（計算は自分でやっておきましょう）
　　　=(1/6)t(t-1)(4t+1)
となります。

ていねいなご解答ありがとうございます。理解できました。

格子点の意味は大丈夫ですよね．x,y座標がともに整数であるような点ですね．

これは(1)がヒントになっています．まずは(1)ですけど，
x=1の上には，x座標が１であるような格子点が並んでいます．
ここで，与えられた三角形を不等式で表現すると，
x+2y≦2n,x≧0,y≧0ですね．
x=1を代入すると，
1+2y≦2n,1≧0,y≧0ですね．
yについてまとめると，
0≦y≦n-1/2
となります．これがx=1のうちで三角形の内部にある部分です．ここにある格子点は，
(1,0),(1,1),・・・・(1,n-2),(1,n-1)
ですね．これはいくつありますか？

(2)はこれの応用です．方法としては，
x=0,x=1,x=2,・・・
と順に数えて加えることになりますが，三角形の条件にnが入っているので，全部数えるわけにはいきません．
x=kとしてこの直線上の格子点の個数をkであらわすことになります．

Ｖｉｐｅｒ先生、、(1)はｎ個ってわかりましたぁ☆(*^ー^*)
でも･･･（２）がまだよくわかりません。。お願いします。(ﾉ_・｡)ｸﾞｽﾝ
格子点の個数をｋ個で表すってどうすればいぃのでしょうか？ (ﾉω･､)

不等式にx=kを代入します．すると，
k+2y≦2n,k≧0,y≧0
となります．これをyについてまとめて，
0≦y≦n-k/2
とすれば，x=k上にある格子点の個数がわかりませんか？

先生、ごめんなさい。(ﾉ_・｡)ｸﾞｽﾝ
ほんっっとうに真剣に考えたのですが、
全然分かりません･･･。
どう考えればいぃのでしょうか･･･。

つまり，x=kの上には，
(k,0),(k,1),(k,2),・・・・・
という風に格子点が並んでいるわけです．で，最後は，
(k,n-k/2)
となるのがkが偶数の時ですね．
kが奇数の時には，n-k/2は整数ではないので，その手前の整数である，
(k,n-(k+1)/2)
が最後の格子点になります．
これで，x=k上の格子点の個数がkで表されますね．
これをk=0,1,2,・・
について加える，つまりシグマ計算をすればよいわけです．

これで答えがでるはずです．本当はこのやり方はベストとは言い難いのですが，まずは(1)の誘導に従って，この方法で正解を出してみましょう．

先生☆(*^ー^*)わかりましたぁ(｡･_･｡)v
ありがとぅございましたm(__)m

y=(x-n)+n^2ではxに関する２次関数にならないので、 y=(x-n)^2+n^2としてやってみましょう（^2は２乗のという意味です）。

図を書いて攻めたい問題ですよね。
では、作図をしましょうか。y=x^2 は原点が頂点で下に凸。 y=(x-n)^2+n^2も下に凸の放物線ですが、nによって場所が動きます。が、頂点(n，n^２)に着目すると．．．

例えばn=1とすると(1,1)、n=2なら(2,4)．．．となり、この頂点(n，n^２)は放物線y=x^2上にあることがわかります。
それを踏まえ、適当に作図するとy=x^2 とy=(x-n)^2+n^2の上下関係は、0≦x＜nではy=x^2 が下、y=(x-n)^2+n^2が上であることが確認できます。・・・（1）

あとは、x=k上にある点の個数を調べてΣを使えばokですが、ここで復習。
1〜100までの自然数は100個。1〜200までの自然数は200個。では100〜200までの自然数は？
大丈夫ですよね、101個です。200-100+1=101です。
これを踏まえて、x=kとy=x^2 、y=(x-n)^2+n^2の共有点のy座標は、k^2と(k-n)^2+n^2。
（1）より、0≦k＜nで(k-n)^2+n^2＞k^2から、x=k上にある点は、
｛(k-n)^2+n^2｝-（k^2）+1　個。すなわち、(k-n)の2乗+nの2乗-kの2乗+1となります。いかがです？お分かりいただけます？

すっごく良く分かりました！！

なんか塾の数学の先生の教え方が苦手で・・。
londontrafficさんみたいな先生だったら良いのにって感じです。
これからも良かったらよろしくお願いしますねー♪

後でこの問題を解いた後に疑問が生まれたんですけど、
この問題ではＡｎの個数を求めるんですよね。
解答では
n
��(k-n)の2乗+nの2乗-kの2乗+1 を求めているんですけど、
k=o

(k-n)の2乗+nの2乗-kの2乗+1が、個数Ａｎを表しているのでは・・？
なぜまたわざわざ・・って感じで（＞＜）
あと、k=0になる理由もいまいちだし、
n
��(k-n)の2乗+nの2乗-kの2乗+1 の途中式の中の、
k=o

n
��(2nの2乗+1)(n+1)＝（ｎの２乗＋１）（ｎ＋１）
k=0
で、なぜ（ｎの２乗＋１）（ｎ＋１）となるんですか？！
もう分からないだらけです・・。どなたか助けてやってください（＞＜）

前に書いた図は残っていますか？残っていなかったらもう一回作図しましょう。

では、
>(k-n)の2乗+nの2乗-kの2乗+1が、個数Ａｎを表しているのでは・・？
から。
もう一度確認しましょう。この個数って、何の個数でしたか？
たしか、x=kって直線上にある点の個数でしたよね。
ほしい個数Anは、「囲まれた部分の個数」でした。

次に
>あと、k=0になる理由もいまいちだし、
です。問題文には、
>２つの放物線y=xの2乗 , y=(x-n)+nの2乗とy軸で囲まれた部分(境界線を含む)
と書いてありますよね。この「(境界線を含む)」から、
「２つの放物線」・「y軸」上の点も含まれるワケです。
図にk=0のときの、直線x=kを引いてみてください．．．y軸と一致するハズですよね。
ちなみにk=nの時も引いてみると．．．二つの放物線の交点を通る直線になるハズです。

最後
>なぜ（ｎの２乗＋１）（ｎ＋１）となるんですか？！
An=sum_{k=0}^{n}{(k-n)^2+n^2-k^2+1}　　(←意味は数式の表記法を見てください)
であり、Σの公式はk=1からnの時に使えるから、k=1からnの時とk=0の時と分けて
An=sum_{k=1}^{n}{(k-n)^2+n^2-k^2+1}+(0-n)^2+n^2-0^2+1　
=sum_{k=1}^{n}{-2nk+2n^2+1}+2n^2+1
=-2n×sum_{k=1}^{n}{k}+(2n^2+1)×sum_{k=1}^{n}{1}+2n^2+1
=n^3+n^2+n+1=(n^2+1)(n+1)

受験会場でも焦りは禁物です。落ち着いて考えてみてくださいね。

あー！！！
そっか！！すっごい納得です！
なんか最近ホント焦っちゃってるみたいで・・。
最後のアドバイスを頭に入れてもう一度解いて見ますね♪
ありがとうございました！

一般的な格子点の問題ですから，どちらかを固定して考えます．
つまり，m=kの時に条件を満たすnの個数をkで表すか，n=kの時に条件を満たすmの個数をkで表すかどちらかになります．
m=kとすれば，0≦n≦sqrt{k}となりますね．
n=kとすれば，k^2≦m≦500ですね．
どちらで数えるのが簡単でしょう？

n=kで考えるほうが数えやすそうですが、
数え方が良く分かりません。
mn平面で考えていいんでしょうか？

mn平面上でn=kという直線上の格子点の個数を数えると考えてＯＫです．

よく考えてみたんですが、やっぱり分かりません。
mを縦軸に、nを横軸にとって図を書いて考えてみたんですけど、
なかなか前に進みません、
m=n^2の図を書いて格子点を数えようとしても、
どう数えていいか分かりません。

すいませんが教えてください。

格子点の問題の最もシンプルな例と考えられます．
まず，グラフを描いて，
「この中の格子点を数える」という領域を塗ってみましょう．
で，いきなり数えるわけには行かないので，順序立てて数えます．

あとは，n=kの上の格子点を数えるだけです．
n=1のとき，n=2のとき・・・・と順番に数えていくのと原理的には同じですね．

で，n=kのときのmの個数をkで表せたら，それをシグマで足しあわせれば，答えになるのです．

ヒントとしては，n=1のとき，
1≦m≦500
なので，mは500通り
n=2のとき，
4≦m≦500
なので，mは497通り
・・・・

となりますかね．

数列がらみの問題では一般的な議論ができないとき，その前に，具体例での実験は必ずやらないとダメですよ！

＞　mを縦軸に、nを横軸にとって、m=n^2の図を書いて格子点を数える

考え方はいいです。
確認ですが、放物線　m=n^{2}　と、縦軸　n=0　と、横棒　m=500　で囲まれた領域（境界含む）内にある格子点数を求めるんですよね？

そのグラフで例えば、縦棒　n=3　の領域内の格子点数はいくつでしょう？
放物線との交点のｙ座標は　9　です。格子点数は
500-9　ではなく、500-9+1　ですよ。
(「植木算」4,5,6,7,8　は、8-4=4個ではなく、8-4+1=5個です）

一般に、縦棒　n=k　の領域内の格子点数は
500-k^{2}+1=501-k^{2}　個です。

さて、これのΣを計算すればいいのですが、ｋは何から何まで取れるんでしょう？
問題の領域は境界を含むので、横軸（ｎ軸上の格子点）も数えねばなりませんから、k=0　からです。

また、22^{2}=484、23^{2}=529　ですから、k=22　までですね。

sum_{k=0}^{22}(501-k^{2})=sum_{k=0}^{22}501-sum_{k=0}^{22}k^{2}
を計算します。

sum_{k=0}^{22}501=501×23　←　501×22　ではない！

sum_{k=0}^{22}k^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+…+22^{2}
　　=1^{2}+2^{2}+…+22^{2}
　　=sum_{k=1}^{22}k^{2}]

あとは公式ですね。

＞今まで解いてきた問題と若干形式が違うので、

この問題は格子点問題でも簡単な方です。もう一度それらの問題を復習されることをおすすめします

Viperさん、新矢さん。ありがとうございました。
おかげさまで問題が解けました。
数列はにがてなほうなので、また復習していきます。