それは，3のk+3乗を「3×(3のk+2乗)」と分けて考えているのです．
だから，
３のk+3乗＋１６(１３ａ−３のk+2乗)
=３×(３のk+2乗)＋１６(１３ａ−３のk+2乗)

を一旦展開して，３のk+2乗のところをまとめて,

=(3-16)×(3のk+2乗)+16×13a
としている訳です．

あ！！分かりました☆（*^ー^*）そっか、、一回展開して･･･。Σ（ﾟ□ﾟ*）
ありがとうございます！！クラスのみんなにも教えてあげたいと思います。。

人に教えてみると理解が深まったりすることもありますね．
がんばって下さい．

はにぃぷぅさん、テストお疲れ様でした。
この掲示板がお役に立てて嬉しいです！

敢えて進言せずとも、はにぃぷぅさんは、解かっておられると思いますが、
解からなかった５問も解決しておきましょうね。
テストの受けっぱなしは良くないです。

今後とも、質問お待ちしています。

帰納法の書き方に従って、考えていきましょう。

１）ｎ＝１のとき
・・・つまり１グラム分銅しかないときは、１グラムしかはかれません。１通り。
一方、ｎの式で表した方にｎ＝１を代入すると、2^{1}-1 = 1 となり、これらは
一致しますから、ｎ＝１を代入してもかまわないことが分かります。

２）ｎ＝ｋのとき
私は実例が好きなんで、こんなふうに書いてみました。下にある「９」のところを
ｋにかえて、最後に出てくる「１０」のところをｋ＋１にかえれば、答案になるは
ずですが・・・。

＝＝＝＝＝
・・・ここで、たとえば分銅９個のときにはかれるパターンが、例の式にｎ＝９を
代入した 2^{9}-1 = 511 （通り）であることが分かった場合に、あと１個、
2^{10-1} = 512 グラムの分銅が使えるようになった場合を考えます。この場合、

１：１グラムから 511 グラムまでは、512 グラム分銅を使わずに、今までどおり
＿にはかるだけ。
２：新たに入手した 512 グラムの分銅だけを使うと、512 グラムがはかれる。
３：512 グラムを使い、それに「１：」と同じパターンを１つずつ組み合わせる
＿と、512+1 グラムから 512+511 = 1023 グラムまでが網羅できる。

はかれるパターンは、これらを加えたものなんですが、式で表すと、

＊＊＊ (2^{9}-1)+1+(2^{9}-1) = 2*2^{9}-2+1 = 2^{10}-1

となります。

＝＝＝＝＝

１）２）より、すべての自然数ｎについて、はかれるパターンの合計は 2^{n}-1
通りであることがわかる。


・・・これはいわゆる「２進法」がもとになってるんですよね。

ブラックです。実例を使って解説して頂いたので、良く分かりました！
言われてみると、そっか〜！って感じです。本当に有難うございました。

仲井戸さんはじめまして。

数学的帰納法は
i)n=1のときに成り立つことを示す。
ii)n=kが成り立つと仮定して，n=k+1を示す。　と言うのが基本ですね？
この一連の操作をした後なら，nはn=k-1,n=k-2,…どんな自然数に対しても成り立ちます。
ところが今の解答は，ii)の操作の途中で行き詰ったんですよね？
つまり，その時点ではn=kの部分しか成り立たない（n=kが成り立つと言う仮定しかしていない）と言うことになります。そのほかの部分については，何も言っていないんです。
この問題の証明の仕方も帰納法の証明の仕方の一つです。あまり見る機会は無いと思うんですが，ぜひ身に着けておきましょう。

仲井戸さん、こんばんは。
小池先生の回答を補足させていただくと、

(a_{1}+a_{2}+…+a_{n})^{2}=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+…+a_{n}^{3} …�@

を満たす数列は、a_{n}=n　…�A　であることを示す。という問題ですね。

証明すべきは�Aですから、

n=k　のとき　――　このｋは任意のｋではなく、“ある”ｋですよね。

ですから、a_{k}=k　と仮定しただけでは、
n=k のとき、�@　は、
(a_{1}+a_{2}+…+a_{k})^{2}=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+…+a_{k}^{3}

となりますが、a_{k}=k　と仮定しただけでは、

(a_{1}+a_{2}+…+k)^{2}=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+…+k^{3}

としかならず、この式から、n=k+1　のときの証明は出来ないので、

n≦k　で、a_{k}=k　と仮定、すなわち

(a_{1}+a_{2}+…+a_{k})^{2}=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+…+a_{k}^{3}　を

(1+2+…+k)^{2}=1^{3}+2^{3}+…+k^{3}

とすることで、解決しているのです。

小池先生、新矢先生、お返事ありがとうございます。
よくわかりました。

またこれからもよろしくお願いします。それでは。