等差数列の和の最大値を求める前に，最大値というものが何なのかを考えて見ましょう。
和というのは，足し算の結果ですよね？プラスの数字を足し続ければ値は大きくなりますが，マイナスの数字を足すと小さくなります。
この数列は，徐々に減り続けていますよね？するとつまり，

和の最大値＝等差数列がプラスの最後の項まで足し算

となります。

ありがとうございました。
和の最大値＝等差数列がプラスの最後の項まで足し算
なのですね。納得できました。

aは初項ですね．

Snの最小値の考え方を確認しますけど，初項が0以上だったら全ての項が0以上なので，総和は増え続けるだけですね．で，初項が負の場合，最初の何項かは負になるので，負になるようなものを足している間は総和が小さくなるわけですね．
S7が最小ということは第７項までが0以下で第８項が0以上ということになります．
0の場合はややこしいので，慎重に考えてみましょう．第７項が0のときは，S6,S7がどっちも最小値になります．第８項が0のときはS7,S8が同時に最小値になります．

ゆりさん，はじめまして。
＞９０/4=22
　Ｓｎ＝２２（４＋８８）/2
　=132　←1012じゃないですか？
というやり方だと，１から９０までの整数になってしまいます。
上の解き方は，等差数列の和の公式の
S=n(a+l)/2
というものを使っていますよね？

この公式はaは初項ですよね？１０からの数字で４で割り切れるものは，１２からになりますね。lは末項です。一番最後は１００ですよね？
なおかつ項数も１２は４×３，１００は４×２５なので，
２５−３＋１＝２３ですね。
つまり　S=23(12+100)/2=1288　になります。

ご丁寧にありがとうございました。私のやり方だと１〜９０までに
なってしまうんですね。わかりました。ありがとうございました。

テストお疲れ様でしたね。

ええと,数列の和の問題になるんですが,とりあえず具体的な数字で試してみると良いと思います。
例えばm=2,n=5とか
そうすると,２と５の間にあるものは,2=14/7なので,
15/7,16/7,18/7,・・・・34/7ですね。
コレの和を考えれば良いですね？ただし,間に７で約分できるやつがいます。
それを引き算すれば出来上がりです。
あとは,m,nに拡張しましょう。

えっと・・ｍとｎを使って説明しなくてはならないのですが、、、、それがわからないんです。(ﾉ_･｡)ｸﾞｽﾝ
解答でｍとｎの間にあって、７を分母とする分数は
(ｍ＜)７ｍ＋１/７,７ｍ＋２/７･･･７ｎ-１/７(＜ｎ)
↑のように最初に書いてあったのですが･･･これは一体なんなのでしょうか？ (ﾉω･､)これに具体的な数字を入れていけばいぃのですか？

そうですね。其の式に具体的な数値を入れると,考えやすいです。

(ｍ＜)７ｍ＋１/７,７ｍ＋２/７･･･７ｎ-１/７(＜ｎ)

ｍに０，ｎに１を代入すると，

(0=0/7)< 1/7 , 2/7 , 3/7 , 4/7 , 5/7 , 6/7 <(7/7=1)

というふうになりますよね？

要するに,具体的な数値を入れて,自分のやっていることを理解しようってことです。
数列の問題などでは特に,文字ばかりを追ってると分かりづらいので,具体的な数値を入れて,自分のやっていることを理解するのが大切です。

m,nの話に移りましょう。
m,n間の７を分母とする既約分数の総和っていうのが,公差が1/7の等差数列であることが分かりますか？
コレさえ分かればしめたものです。ただし,分数にならなくてはいけないので,整数になる部分は引き算しなくてはなりません。

答えの形は何通りかあるんで,分からなければ答えを書き込んでください。

(ｍ＜)７ｍ＋１/７,７ｍ＋２/７･･･７ｎ-１/７(＜ｎ)
これはｍ〜ｎまでの７を分母とする既約分数を全て書き出したものです。
ここから公差が1/7だと分かれば,それでＯＫです。

小池先生ありがとうございます☆(*^ー^*)
公差１/７の等差数列ですね。。７ｍ＋１/７から始まっているのは、７ｍ/７だと、割り切れてしますからですね。。φ(..*)実際数字を入れてみると、分かりやすい！！！(･0･。)これからそうしよう♪φ(..*)
もう一回自分で解いてみます(｡･_･｡)vありがとうございました

水野％助っ人です。

・・・いきなり分母がｐのものを考えると厄介ですから、最初は実例で考えましょ
う。たとえば分母が５の場合ですと、１／５，２／５，３／５，４／５になって、
総和は

１／５＋２／５＋３／５＋４／５＝（１／５）（１＋２＋３＋４）＝２

となりますよね。この調子で分母が他の素数、たとえば７の場合も考えてみましょ
う。同様に、（１／７）（１＋２＋３＋４＋５＋６）＝３ と求まります。

ポイントになるのは、やはり（１＋２＋・・・）の部分なんですが、これを一般の
ｐで考えたときにどうなるかというと、これは

＊＊＊ 初項１、末項ｐ−１、項数ｐ−１の等差数列の和

になることがわかるでしょう。実際そうですね。ですから、一般の形は、１／ｐに
等差数列の和の公式に上の３つのものを当てはめたものをかけて、

（１／ｐ）｛（１／２）（ｐ−１）（１＋ｐ−１）｝＝（ｐ−１）／２

と求まります。
＃ 一応、先ほど例で考えたものと一致しているかどうか確認すると、ｐ＝５の場
＃ 合は（５−１）／２＝２、ｐ＝７のほうは（７−１）／２＝３となって、なる
＃ ほど、大丈夫そうですね。

・・・あと、私が予備校で教えたときの「マニュアル」に載っていたやりかたも
あって、こっちも興味深いので紹介します。

＝＝＝＝＝［別解］

これらの分数を小さい順に並べて、両端に０と１を補うと、全体が等差数列にな
ります。
＃ たとえばｐ＝５の場合は「０，１／５，２／５，３／５，４／５，１」
その初項は０、末項は１、項数はｐ＋１になります。

こうしておいて、まず全体の和を求めてそこから０と１を引けば、真ん中に並んだ
分数だけの和が求まりますよね。よって求める和は

｛（１／２）（ｐ＋１）（０＋１）｝−（０＋１）＝｛（ｐ＋１）／２｝−１
＝（ｐ−１）／２

＝＝＝＝＝
・・・でも、こちらは何となくテクニカルすぎる気もします。私としては、素朴に
考えてそこから発展させていく感じの方が好きです。

分かりやすい解説ありがとうがざいました。やっぱり実例を挙げて考えるのが大切なんですね。本当にありがとうございました。

水野と申します。

指数部分（右上の・・・＋・・・＋・・・になっている部分）を見たとき、ここで
はそれが、等差数列の和になっているはずです。ということで、等差数列の和の公
式で、初項と末項と項数を考えればＯＫです。
＃ この公式を忘れているなら、教科書か参考書で確認しておいてください。

ただし、本問の場合は、最初にｎの入ったやつが出てきていますから、おしまいの
方を初項と考えた方が無難です。
＃ もちろん考えずにやる方法もありますが、今は書きません。

＊＊＊ 「左から読んでも等差数列、右から読んでも等差数列」

初項０、末項２−ｎ、で、項数がわかりません。。。
逆にならべると、０、−１、・・・・、３−ｎ、２−ｎ　ですが、
項数は、(２−ｎ)−０＋１＝３−ｎ個ですか？

・・・おしい！！！その式の

＊＊＊ 「末項−初項」を、公差−１で割らねばなりません！！

それで求まるのが、初項から末項まで、−１を何回足したか？？・・・の回数です
から、これに１を足せば項数になるわけです。でも、よく考えてますね。

ごめんなさい。いまいち解りません。。。。今まで見た数列は
１、２、・・・・、ｎ　ってなってるから、ｎ−１＋１＝ｎ個って解るんですけど。。。。。ってことはこれも交差の１で割ってるってことですか？今まで見た数列は交差で割らなくても項数がでたんですが、全ての数列において項数を求める時には、光差で割るのですか？？？

もちろんそうですよ！

たとえば、１，３，５，・・・，ｎ（ただし奇数に限りますけど）だったらどうな
りますか？？
＃ 具体的に言えば、「１０１までに何個の奇数があるでしょう？？」

・・・ｎ−１を２で割って、１を足すでしょう。

なるほど、そうですね。。。やっと解りました。。。具体的に数でやると解り易いですね。ありがとうございました。。。。。