所謂２項間漸化式の解法ですね。
いろいろなパターンがあるんですが，私は基本的には『暗記物』と理解しています。
基本的には置き換えたときにうまくいくように変形するんですが。

今の場合は『an+1=Aan+B*C^n』という形です。ようするに指数乗がある場合。
基本は，先生が解いたように，C^n+1で割ります。
そうすると
an+1/C^n+1=A/c*an/C^n+B/C
となって，an/C^n=bnとおけば，bn+1=A/C*bn+B/Cとなり特性方程式を利用できるようになります。
一応うまく置き換えられるように変形というのが，考え方になります。

ありがとうございました(*^ー^*)明日数列の章末テストなので(難しい問題らしいのですが・・・泣。)頑張ります！！！

これも置き換えをうまく考えることが重要です。
なぜそこまで置き換えにこだわるかといえば，私たちは（２項間）漸化式の解法は，
an+1=an+B (等差数列) , an+1=Aan (階差数列) , an+1=Aan+B (特性方程式利用)
のせいぜい３つ，階差数列で４つ目，一般項を類推して帰納法で証明と多くても５つのとき方しか知りません。
そのため，その解き方が使えるように変形をしなければなりません。
今の問題は，先生がおっしゃったように対称式型なので，足し算・引き算をすると容易に置き換えられることを，経験的に知っています。なので，足し算・引き算を行います。
あと，置き換えをすれば，文字を減らすことができますね？数学の問題を解く上では，非常に重要です。
以上２つの理由でそのような計算を行います。

ありがとうございました(*^ー^*)なるほど･･･。足し算引き算で置き換えられるのを先生は知っていたのですね・・・φ(．．*)。。
まだまだ解けない問題ばかりでちょっとあせってます。。(;^_^A
今日は一問でも多く問題が解けるように勉強したいと思います。。o(*･･*)o

はにぃぷぅさん、試験頑張ってください！！

漸化式には、細かく分ければ、10や20じゃきかないくらい、いろいろなパターンがあり、それらの解法が個々に違いますので、指導する側も、どこまで指導すればいいのか？　悩むところです。
現在、｢回答者用掲示板｣の方で、そのことが話題になっていますので、興味がおありなら、覗いてみて下さい。

さて、連立漸化式ですが、２タイプあります。
一つはご質問の問題の係数対称型
a_{n+1}=p・a_{n}+q・b_{n}　…�@
b_{n+1}=q・a_{n}+p・b_{n}　…�A
小池先生のレスにもあるように、このタイプは、『和と差をとれば、簡単に解ける』から、解法を覚えよう。ということです。

�@＋�A　を作ってみると、
a_{n+1}+b_{n+1}=(p+q)a_{n}+(p+q)b_{n}
　　　　　　　　=(p+q)(a_{n}+b_{n})
a_{n}+b_{n}　を　c_{n}　と置き換えてみると、左辺
a_{n+1}+b_{n+1}=c_{n+1}　となるので、
c_{n+1}=(p+q)c_{n}
つまり、c_{n}　は等比数列です。

○　ａ1=１,b1=２,ａn+1=２ａn＋bn　…�@,ｂn+1=ａn+２bn　…�A
�@＋�A
　a_{n+1}+b_{n+1}=3(a_{n}+b_{n})
c_{n}=a_{n}+b_{n}　とすると、c_{1}=a_{1}+b_{1}=1+2=3
c_{n+1}=3c_{n}　より、
c_{n}　は、初項　３、公比３　の等比数列なので、
c_{n}=3・3^{n-1}=3^{n}
つまり、a_{n}+b_{n}=3^{n}　…�B

注　―　慣れたら、c_{n}　と置き換えずに、いきなり�Bを書いて構いません。

�@−�A
a_{n+1}-b_{n+1}=a_{n}-b_{n}
d_{n}=a_{n}-b_{n}　とすると、d_{1}=a_{1}-b_{1}=1-2=-1
d_{n+1}=d_{n}　より、
d_{n}　は、初項　-1、公比1 の等比数列なので、（定数数列ともいいますね）
d_{n}=-1
つまり、a_{n}-b_{n}=-1　…�C

�B＋�C　を２で割ることで、a_{n}=(3^{n}-1)/2
�B−�C　を２で割ることで、b_{n}=(3^{n}+1)/2

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連立漸化式のもう一つのパターンは、係数がバラバラの

a_{n+1}=p・a_{n}+q・b_{n}　…�@
b_{n+1}=r・a_{n}+s・b_{n}　…�A

これは和と差をとってもうまくいきません。また、指導者によって（参考書によって）解法がことなります。
あくまでも私の解法ですが、
�@　を　b_{n}=(1/q)a_{n+1}-(p/q)a_{n}　…�B　と変形し、さらに
�Bのnをn+1に書き換えます
b_{n+1}=(1/q)a_{n+2}-(p/q)a_{n+1}　…�C

�Bと�Cを�Aに代入することにより、a_{n+2}　と　a_{n+1}　と　a_{n}　の
隣接３項漸化式を作り、それを解くという解法があります。

小池先生・新矢先生ありがとうございました☆(*^ー^*)
今日受けたテストが明日帰ってくると思うのですが、また分からない所があったら質問してもいぃですか？('-'*)
よろしくお願いします(*^ー^*)