ポイントと呼べるかどうか分かりませんが、このような問題の場合、まず同じ部分を一つのまとまりとします。

上の問題の場合は a+b が２つあるのでこれをひとまとまりとします。
また、-c-d という部分は -(c+d) と表せます。ということで c+d というまとまりが出てきました。
したがって、
(a+b+c+d)(a+b-c-d)
= ((a+b)+(c+d))((a+b)-(c+d))
となります。

ここで、a+b を X、c+d を Y と置き換えてみましょう。
（これは、見やすくする、説明しやすくする、為に置き換えるだけで、
　別に必ず置き換える必要があるという事ではありません。）
置き換えてやると、
= (X+Y)(X-Y)
となって公式の形が出てきました。

後はこれを展開して、X,Y を元の a+b,c+d に戻して、もう一度展開して、整理するだけです。
= X^{2} - Y^{2}
= (a+b)^{2} - (c+d)^{2}
= a^{2} + 2ab + b^{2} - (c^{2} + 2cd + d^{2})
= a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} + 2ab - 2cd

下の問題の場合は、a+b をひとまとまりとして X と置き換えてやると、
(a+b-c)^{3}
= (X - c)^{3}
となり、後は上の問題と同じように展開、代入、展開、整理で出来ます。

kumaさん、ありがとうございます。
下の問題は整理するのが大変ですね。ごちゃごちゃになると解答があってるかどうか不安ですが、こちらで聞いて安心しました。
本当にありがとうございました。

こんにちは。このところ夏休みの宿題のためか、因数分解、展開の問題が
異常に多いですね。まあ、それはいいとして、回答の概略を説明します。

一、２４x3乗−81y3乗
これは、3乗-3乗の形にすることを考えて、３でくくりだします。
すると、3乗-3乗の公式そのままの形になります。

三、２x2乗＋xy−３y2乗−３x−７y−２
これは、ｘで整理して、たすきがけをします。

四、a2乗(b−c)＋b2乗(c−a）＋c2乗(a−b)
これは、1度展開して、ａで整理して、さらに（ｂ−ｃ）でくくりだすと、
見慣れた式になります。

五、a3乗＋b3乗−c3乗＋3abc
どう考えても、例の公式を使うしかないです。
a3乗＋b3乗+c3乗-3abc＝（ａ+ｂ+ｃ）*（a2乗＋b2乗+c2乗-ab-bc-ac)
このｃを-ｃにすればいいわけです。
一度自分で解いてみてください。

１と４は解けました。
ありがとうございました。

ただ、何で他がうまくいかないんだろう・・・
たすきがけ自体が間違ってるのかな。。。
確認のために解答も欲しいんですが・・・。

「２」は、知ってないと困るかも。

ｘ＾４−３ｘ＾２＋１
＝（ｘ＾４−２ｘ＾２＋１）−ｘ＾２ ・・・（ここで分けるのがミソ！）
＝（ｘ＾２−１）＾２−ｘ＾２ ・・・（先頭を２乗にして、２乗と２乗の差）
＝（ｘ＾２−１＋ｘ）（ｘ＾２−１−ｘ） ・・・（和と差の積に直す！）

ええと、あとは・・・？？

キツネさん、こんばんわ。

五はNAMAZUさんのレスにある公式を使っていいと思いますよ。
三はまず　ｘ　について降べきの順に整理します。

与式=2x^{2}+(y-3)x-(3y^{2}+7y+2)
　　=2x^{2}+(y-3)x-(3y+1)(y+2)

としてからたすき掛けです。
自分の答えが合っているかどうかは、展開して問題の式になれば合っているということです（それも勉強です）。　

助っ人の池田です。

もうすぐ夏休みも終わりですね。
大阪も今週に入って急に涼しくなったと思ったのですが、
東京はこちらより５度も涼しいんだそうで？ ちょっと信じられません。

本題の回答に移ります。
力づくで素因数分解をしても何のことだかわかりませんよね？
しかし、この問題は 262083 でなくて 2^{18}-1 と書いてある所がミソなのです。
何故かと言えば、因数分解（素因数分解ではないですよ）の公式が使えるからです。
数字の２を文字のように考えて因数分解すればよいのです。
具体的には
　　　x^2-y^2=(x+y)(x-y),
　　　x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
　　　x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
を使います。

……が、何のことかわからないでしょうから、私が使ってみます。
　　　2^{18}-1=(2^{9}+1)(2^{9}-1)
　　　　　　　=(2^{3}+1)(2^{6}-2^{3}+1)(2^{3}-1)(2^{6}+2^{3}+1)
　　　　　　　=9・57・7・73
となります。
もう少し素因数分解しておきましょうか。
　　　　　　　=3^2・3・19・7・73
　　　　　　　=3^3・7・19・73
となりました。

という訳で、答えは 73 になりました。

すっごくよくわかりました！！ありがとうございました！！！
３乗とかの公式は一学期学校で習いました。
素因数分解だったら素因数分解ばっかり考えるんじゃなくて前に習ったことも引き出してかんがえなきゃいけないんですね〜。そこのとこがやっぱり難しいです。数学は・・・。
また、違う問題を聞くかもしれないですがその時はまた・・・よろしくおねがいします！！

お中元さん、こんばんわ。βは買われました？

書き言葉で非常に説明しにくいのですが、
逆から考えてみましょうか。(x+y+b)(2x-3y+c)　を展開してみます。

(x+y+b)(2x-3y+c)={(x+y)+b}{(2x-3y)+c}
=(x+y)(2x-3y)+c(x+y)+b(2x-3y)+bc
=(2x^{2}-xy-3y^{2})+cx+cy+2bx-3by+bc
=2x^{2}-xy-3y^{2}+(c+2b)x+(c-3b)y+bc

何が言いたいのかというと、ｘとｙの１次式の積
(px+qy+r)(lx+my+n)　を展開すると
(px+qy+r)(lx+my+n)={(px+qy)+r}{(lx+my)+n}
=(px+qy)(lx+my)+n(px+qy)+r(lx+my)+rn
となり、２次の項　x^{2}、 y^{2}、xy　は　(px+qy)(lx+my)　を展開した部分からしか出て来ず、
n(px+qy)+r(lx+my)+rn　からは上記の２次の項は出てきません。

=============================
2x^{2}-xy-3y^{2}-5x+10y+a　の２次の項　2x^{2}-xy-3y^{2}
は、お中元さんが考えたように、
2x^{2}-xy-3y^{2]=(x+y)(2x-3y)　　となるのですから、
(x+y+b)(2x-3y+c)　とおいたのですが…。解りにくいよね？
解ってくれたら嬉しいです。

　　新矢先生の説明を何度も繰り返して読んだらよくわかりました！！
　　ありがとうございました！！
　　　2x^{2}-xy-3y^{2}-5x+10y+a=(x+y+b)(2x-3y+c)
　={(x+y)+b}{(2x-3y)+c}
=(x+y)(2x-3y)+c(x+y)+b(2x-3y)+bc
=2x^{2}-xy-3y^{2}+cx+cy+2bx-3by+bc
=2x^{2}-xy-3y^{2}+(c+2b)x+(c-3b)y+bc
　　　係数比較して　　c+2b=-5, c-3b=10, bc=a　　　より
　　　　b=-3, c=1 ∴a=-3　　　となりました！！

　　青チャートに似た問題があったので少し問題を変えて解いてみました。
　　　(問)6x^{2}+17xy+12y^{2}-11x-17y+a 　が x,y　の１次式の積に
　　　　　分解されるようにa の値を定めよ。
　　　
　　　(解) 6x^{2}+17xy+12y^{2}=(2x+3y)(3x+4y)　　と因数分解し
6x^{2}+17xy+12y^{2}-11x-17y+a=(2x+3y+b)(3x+4y+c)　　と置く
　　　　(右辺)={(2x+3y)+b}{(3x+4y)+c}
=(2x+3y)(3x+4y)+c(2x+3y)+b(3x+4y)+bc
=6x^{2}+17xy+12y^{2}+2cx+3cy+3bx+4by+bc
=6x^{2}+17xy+12y^{2}+(2c+3b)x+(3c+4b)y+bc
係数比較して　　2c+3b=-11 3c+4b=-17 bc=a より
　　　　　b=1, c=-7 ∴a=-7 と答えが出ました！あってるでしょうか？

　　　　　☆βは街の小さな本屋にはなかったので、近い内に大きな本屋に
　　　　　　買いに行こうと思います！！　　　　　　　　　　

解ってくれてありがたいです。
おまけに自主的に復習をしてくれたなんて、向学心旺盛ですね。素晴らしいです。
この掲示板をご覧の他の皆さんも、｢私ももっと頑張ろう！｣と刺激を受けた方もいると思いますよ。

＞b=1, c=-7 ∴a=-7 と答えが出ました！あってるでしょうか？

ＯＫです。
　6x^{2}+17xy+12y^{2}-11x-17y-7=(2x+3y+1)(3x+4y-7)　
ということですね。
ここで、6x^{2}+17xy+12y^{2}-11x-17y-7=0
はどんな図形を表す方程式か？　を考えてみます。
左辺を因数分解すると、
　(2x+3y+1)(3x+4y-7)=0
となります。この意味は
2x+3y+1　と　3x+4y-7　を掛けたら　0　になるということですから、　
どちらかが０だ、ということです。
つまり、2x+3y+1=0　または　3x+4y-7=0
　　y=-(2/3)x-(1/3)　または　y=-(3/4)x+(7/4)
となりますから、
　　6x^{2}+17xy+12y^{2}-11x-17y-7=0
は、２直線　　y=-(2/3)x-(1/3)　、y=-(3/4)x+(7/4)　を表す方程式です。
１年後、数学�Uの“図形と式”で、突然でてきて、皆ビックリするのですが、
そのとき、お中元さんは｢ふふっ｣と微笑みましょうね。

　　学校の指定で数�Uと数Bの教科書を１年で買ったので家にありました！
　　さっそく図形と式のところをみてさらに「ふふっ」っと微笑むために
　　問題に挑戦してみました！
　　　(問)　２直線　x+2y-3=0, 2x-3y+8=0　の交点と、点 (1,-1)　を
　　　　　　通る直線の方程式を求めよ。
　　　(解)　連立方程式　　x+2y-3=0, 2x-3y+8=0　　　を解いて
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x=-1, y=2
　　　　　　よって２直線の交点の座標は (-1,2)で、これと (1,-1)　を
　　　　　　通る直線の方程式は　　y=-(3/2)x+(1/2)
　　　　　　すなわち　　　　　　　x+(2/3)y-(1/3)=0
あまり自信がないのですがこれで良いですか？？

実はそれ以外の解き方を、数学�Uで学習するのです。

少し先に“領域”というのがあって、教科書にはこのレベルまで載っているか判らないのですが、

『(2x+y-1)(x+3y+2)>0　が表す領域を図示せよ』
あるいは
『2x^{2}-xy-3y^{2}-5x+10y-3≦0　が表す領域を図示せよ』
という問題のとき、｢ふふっ｣として欲しいのです。

　　　なるほど、そういう問題のときに今回の応用がきくんですね！
　　　何か得した気分です♪

　　わかりました☆☆
　　では学校で習った時にその方法を使ってみたいと思います！

　　新矢先生！本日βを購入しました！！
　　以前質問した『置き換えを必要とする関数の最大・最小』についても
　　記載してありました！これから少しずつ解いていこうと思います☆☆