「平方根の計算」の質問と回答

1
 x=a/(4a^{2}+9)　のとき

　sqrt{12x+1}/(sqrt{12x+1}-sqrt{1-12x})　を　a　で表せ。ただし　a≧3/2　とする。　
GO
2

x=(√５＋√２)/(√５－√２)　のとき、次の式の値を求めよ。

(1)　x+(1/x)
(2)　x^{2}+(1/x^{2})
(3)　x^{3}+(1/x^{3})
GO
3
 x=frac{2a}{1+a^{2}} のとき

frac{sqrt{1+x}-sqrt{1-x}} {sqrt{1+x}+sqrt{1-x}}　　 を　a　で表わせ。
GO
4
 次の等式を満たす有理数 p , q の値を求めよ。

（√2+1)p+q√2=1
GO
5

２重根号をはずせ。

　①　√(11＋2√30)
　　　
　②　√（7－2√12）

GO

展開・因数分解　　　　絶対値の扱い　　　　対称式の値　　　　　比例式　　　　　質問と回答TOPへ

　

平方根の計算
☆ふうこさん　 　 投稿日2002/5/19(日)18:13

こんにちは、はじめまして。ふうこと申します。
まる２日考えてもわからない問題があるのですが、
教えていただけますか？

xについての式　　sqrt{12x+1}/(sqrt{12x+1}-sqrt{1-12x})　は
x=a/4a^{2}+9　（ただしa≧3/2）のとき　【答え】である。

ちなみに答えはa/3+1/2です。

与式の分母分子に　sqrt{12x+1}+sqrt{1-12x}　をかけて
有理化したら簡単な式になるのでは、と思ったのですが、
何十回やっても、きれいな式がでてきません。

ちなみに私は浪人生（しかも自宅浪人）です。

この問題は数学１Aの問題集にでてきたので
おそらくその範囲内でとけるものだと思います。
何とぞよろしくお願いいたします。
◇池田　敦さん 　 [Profile 大阪府に住む23才の男性の方] 投稿日：2002/5/19(日)18:50

助っ人の池田です。ふうこさん、はじめまして。
意外や意外、x に frac{a}{4a^2+9} を代入した方がきれいな形になるのです。

細かい計算は省略しますが（自分でやっておきましょう）、参考までに
　　　sqrt{12x+1}=frac{2a+3}{sqrt{4a^2+9}},
　　　sqrt{1-12x}=frac{2a-3}{sqrt{4a^2+9}}
となります。ここまでくればすぐに答えは求まるでしょう。
もし途中計算で詰まったら、また質問して頂けますか？

数学 IA の問題集にあったそうですが、分数式や無理式が出てくる時点で
本当は数 III の範囲なんですよねえ。実は。
◇ありがとうございました 投稿者：ふうこさん　 投稿日：2002/5/20(月)14:00

池田さま

ありがとうございました。おかげさまですぐに解けました。
あんなに悩んだ２日間は何だったんだろう（笑）

今後ともよろしくお願いいたします。

このページのTOP

平方根の計算　―　対称式　―
☆加奈さん　 　 [Profile 近畿地方に住む高校１年生の女性の方] 投稿日2002/7/30(火)22:18

連続で質問してすみません。

よく次のような問題を見るのですが、問題の解き方が、ものすごくめんどくさい上に、すごい大きな数字の答えが出てきて不正解になってしまうのです。
うまい解き方が有るのですか？

x=(√５＋√２)/(√５－√２)　のとき次の式の値を求めよ。

(1)x+1/x
(2)(x)^{2}+1/(x)^{2}
(3)(x)^{3}+1/(x)^{3}

見にくい質問ですが、よろしくお願いします。
◇新矢　 [Profile 兵庫県に住む秘密の方] 投稿日：2002/7/31(水)02:46

今後の数学の基礎となる、非常に重要な問題です。

まずｘを有理化します。
x=(√5+√2)/(√5-√2)=(√5+√2)^{2}/3=(7+2√10)/3

次に　1/x　を有理化します。
1/x=(√5-√2)/(√5+√2)=(√5-√2)^{2}/3=(7-2√10)/3

(1)　　x+(1/x)=(7+2√10)/3+(7-2√10)/3=14/3

(2)　展開公式　(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab　　より
　　
　　a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab　　が成り立ちます。

ゆえに　　x^{2}+(1/x)^{2}=(x+1/x)^{2}-2･x･(1/x)=(x+1/x)^{2}-2
　　　　　　=(14/3)^{2}-2=178/9
(3)　因数分解の公式　a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})　を使って

　　x^{3}+(1/x)^{3}=(x+1/x){x^{2}-x･(1/x)+(1/x)^{2}}
　　　　=(x+1/x){x^{2}+(1/x)^{2}-1}　　
　(2)の答えを代入
　　　　=(14/3){(178/9)-1}=2366/27
◇加奈さん　 [Profile 近畿地方に住む高校１年生の女性の方] 投稿日：2002/7/31(水)22:36

非常にわかりやすく説明していただいて、ありがとうございました。
結構重要な問題なのですかー　よく覚えておきます。

このページのTOP

√{A^2}=|　A　|
☆K,Yさん　 　 [Profile 近畿地方に住む高校１年生の男性の方] 投稿日2002/7/17(水)21:06

どうもこんばんはー　ただいまテスト勉強中ですー（明日・・・TT）
--------------------------------------------------
x=frac{2a}{1+a^{2}} のとき

frac{sqrt{1+x}-sqrt{1-x}} {sqrt{1+x}+sqrt{1-x}}
をaで表わせ。
--------------------------------------------------
って問題なんですが、正直ぜんぜんわかりません。。
ヒントには　分母･分子にsqrt{1+a^{2}}をかければ分数式が楽になるってかいてあるんですが、無理やりx=frac{2a}{1+a^{2}} を式に代入してsqrt{1+a^{2}}をかけるんですか？
（2重根号は習いました。）
お願いします！
◇別のヒント 投稿者：Kaiserさん　 [Profile 魔界に住む男性の方] 投稿日：2002/7/17(水)22:16

まずは、
\frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}
を分母を有理化してから、
x に a を代入したほうが楽そうです。
そのうえで、分母分子に
1 + a^2 をかけてみましょう！
◇新矢　 [Profile 近畿地方に住む秘密の男性の方] 投稿日：2002/7/18(木)02:18

私もkaiserさんの解法の方をおすすめします。
有理化すると、sqrt{1-x^{2}}　という項が出てきますが、この問題の最大のポイントはこれの扱いです。

sqrt{1-x^{2}}　のｘに　frac{2a}{1+a^{2}}　を代入して計算していくと、
sqrt{(1-a^2)^{2}} が出てきます。
sqrt{(1-a^2)^{2}}=1-a^2　ではありません。
sqrt{(1-a^2)^{2}}=| 1-a^2 |　　←（絶対値　1-a^2 ）
です。
x２乗のルート＝絶対値ｘ　です。
◇K,Yさん　 [Profile 近畿地方に住む高校１年生の男性の方] 投稿日：2002/7/18(木)22:00

どうもありがとうございましたー。

このページのTOP

a+b√2　が有理数になる条件
☆べんぞうさん　 　 [Profile 高校１年生の女性の方] 投稿日2002/8/29(木)02:59

学校のプリントです。展開するところまでは、分かるのですがその先は回答を何度見ていても、どうゆうことなのかよく分かりません。

次の等式を満たす有理数p,qの値を求めよ。
（sqrt{2}+1)p+sqrt{2}q=1
◇夜遅くまで頑張ってますね。 投稿者：新矢（管理人）　 [Profile Ｍ78星雲に住む秘密の男性の方] 投稿日：2002/8/29(木)03:34

べんぞうさん、こんばんは。
解答のどのあたりがわからないのか、もう少し詳しく教えて欲しかったです。

√2　で整理すると、
(p+q)√2+p=1　となります。

右辺の１は有理数ですね。
左辺に√2　がありますが、右辺の１は有理数ですから、
なんとかして、左辺を有理数にする必要があります。
考えられる方法は２つあって、
√２　に、例えば　2√2　や　７√２　などの　△√2　という形の数を掛ければ、４や１４という有理数になってくれます。しかし、この問題では
p,qは有理数ですから、p+q　は、√2　や　7√2　にはなれません。
√2　を消し去るもう一つの方法は、０を掛ければいいのです。

ですから、p+q=0　であればいいのです。
このとき、左辺は　p　となり、右辺は１なのですから、
p=1　です。p+q=0　より、q=-1　ですね。
◇ありがとうございます。 投稿者：べんぞうさん　 [Profile 高校１年生の女性の方] 投稿日：2002/8/30(金)01:43

とても、丁寧で分かりやすかったです。
これから、質問する時はもっと細かく書くように気をつけます。

このページのTOP

二重根号のはずし方
☆温さん　 　 [Profile 九州地方に住む高校３年生の女性の方] 投稿日2002/6/9(日)17:07

二重根号のはずし方がわかりません教えてください！

　　①√￣￣￣￣￣
　　　　11＋2√30
　　
　　②√￣￣￣￣￣
　　　　7－2√12
　　　　　　　　　　　…という問題ですよろしくお願いします。　
◇新矢さん　 [Profile 兵庫県に住む男性の方] 投稿日：2002/6/9(日)19:58


温さん，お久しぶりです。

sqrt{11+2√30}=√a+√b と仮定します。

両辺を２乗してみると，
　11+2√30=a+b+2√ab となりますね。
a+b=11 , ab=30 を解きます。
つまり，

○　足して 11,掛けて 30 となる２数を見つけます。

6と5ですね。
∴　sqrt{11+2√30}=√6+√5 となります。

次も同じです。
sqrt{7-2√12}=√a-√b （符号に注意）として，2乗します。

足して 7，掛けて12 になる２数は　4と3です。
∴　sqrt{7-2√12}=√4-√3=2-√3

注意　sqrt{7-2√12}=√3-√4=√3-2
　　とすると，左辺が正，右辺が負となるので間違いです。
◇理解できました！ありがとうございましたー☆★ 投稿者：温さん　 [Profile 九州地方に住む高校３年生の女性の方] 投稿日：2002/6/9(日)20:55

　お久しぶりです！
毎回毎回カキコするたんびにわかりやすい解説ありがとうございます！

このページのTOP

展開・因数分解　　　　絶対値の扱い　　　　対称式の値　　　　　比例式

質問と回答TOPへ