裕美さん，はじめまして。

絶対値のはずすには，中身が０以上，０以下の場合分けが原則です。

|x-2| は，はずせますか？
　x-2≧0 つまり　x≧2 のとき，|x-2|=x-2
　x-2≦0 つまり　x≦2 のとき，|x-2|=-(x-2)=-x+2

|3-2x| は不等号の向きに注意して下さい。
　3-2x≧0 つまり　x≦3/2 のとき，|3-2x|=3-2x
　3-2x≦0 つまり　x≧3/2 のとき，|3-2x|=-(3-2x)=2x-3

１つの式に絶対値が複数ある時は，数直線で場合分けを考えます。

　　　�B　　　　�A　　　　�@
　――――＋――――＋―――→ｘ
　　　　　　3/2　　　　　　　2

上の数直線の�@�A�Bの３つの区間で場合分けをします。

�@　x≧2 のとき，
　　|x-2|=x-2
　　x≧2 ですから　x≧3/2 をみたします。ですから
　　|3-2x|=2x-3 です。
　|x-2|-|3-2x|=x-2-(2x-3)=-x+1

�A　3/2≦x≦2 のとき，
　　|x-2|=-x+2 , |3-2x|=2x-3
|x-2|-|3-2x|=-x+2-(2x-3)=-3x+5

�B　x≦3/2 のとき
　　|x-2|=-x+2 , |3-2x|=3-2x
|x-2|-|3-2x|=-x+2-(3-2x)=x-1

検算をしてみましょう。
x に -1 を入れてみると、

左辺 = |x - 2|
= |-3|
= 3

右辺 = 2x - 1
= -3

となって等式が成り立ちません。
ですから x = -1 は間違いです。


では、ちょっと解いてみてみましょう。
絶対値の問題を解く時は絶対値の中が正か負かで場合分けをします。

(i) x - 2 ≦ 0 つまり x ≦ 2 の時
|x - 2| = 2x - 1
-(x - 2) = 2x - 1
x = 1

(ii) x - 2 ≧ 0 つまり x ≧ 2 の時
|x - 2| = 2x - 1
x - 2 = 2x - 1
x = -1
↑間違いの原因はここですね。
今、(ii)では x ≧ 2 という条件で考えています。
したがって、x = -1 という値は範囲外になるので解にはなりません。
ですから、(ii)の時は解なしとなり、解答は(i)(ii)を合わせて x = 1 となります。

これはよくある間違いだと思うので注意しましょう。


追記：場合分けで両方に等号が入っています（≦と≧）が、これについては賛否両論だと思います。
私はxが2の時はどちらにも含まれるし、どちらでも成り立つので、両方に等号を付けた方が良いと思いますが、教師によっては片方だけに付けろ（≦と＞または＜と≧）と言う人もいます。
入試では関係ないと思いますが定期テストでは注意した方がいいかもしれません。

わかりやすい説明ありがとうございました。

検算すればすぐに気づく様な質問をしてご面倒をおかけしました。
今後、検算してから質問します。

K〜Yさん（なんと読めばいいのでしょう？）さん，はじめまして。
阪神が首位に返り咲いて，ビールが特においしい，新矢です。

この掲示板の他の記事を見てもらえると，やたらと“場合分け”という言葉が目に付くと思います。高校数学は“場合分け”の学問といっても過言ではありません。
その場合分けですが，今後いろいろな局面で発生することになります。その中でも，“絶対値をはずす場合分け”は特によく出てきますので，今確実にマスターしておく事が大切です。

(1) さて，個々の絶対値ははずせますか？
|x-1| は　x≧1 のとき x-1 ，x≦1 のとき　-(x-1)=-x+1
は宜しいでしょうか？（OKと仮定して話しを続けます）
|x-2| は　x≧2 のとき x-2 ，x≦2 のとき　-(x-2)=-x+2
|x| は　x≧0 のとき x ，x≦0 のとき　-x

では，不等式　｜ｘ-１｜+｜ｘ-2｜＜｜ｘ｜　を解くためにはどのように“場合分け”をすればいいのかというと，まず数直線を書いてください。
３つの絶対値それぞれの場合分けに出てきたｘの値 1,2,0 を小さい順にとります。数直線は下の�@〜�Cの４つの部分に分けられます。

　　　　　　　�C　　　　　　�B　　　　　�A　　　　　　�@
　　　　―――――＋―――＋―――＋――――→ｘ
　　　　　　　　　　　 0　　　　　 1　　　　　2

ｘ　が�@〜�Cのどこにあるか？　で場合分けします。

�@　x≧2 のとき，
　　　｜x-1｜+｜x-2｜＜｜x｜　
それぞれの絶対値の中の＋−を考えて各絶対値をはずすと，
　　　 x-1+x-2＜x　　となり，
これを解くと　x＜3 となりますが，今は　x≧2 のときを考えているんだから
2≦x<3 となります。

�A　1≦x≦2　のとき，
　　　｜x-1｜+｜x-2｜＜｜x｜　は
　　　x-1-(x-2)<x となって，これを解くと　x>1
　　　1≦x≦2　のときを考えていて，x>1 になったんだから，1<x≦2 です。
同様に
�B　0≦x≦1　のときは　-(x-1)-(x-2)<x となり，これを解くと　x>1
0≦x≦1　のときを考えていて　x>1 だから解なし。
�C x≦0　のときは　　-(x-1)-(x-2)<-x となり，これを解くと　x>3
　　x≦0　のときに　x>3　だから解なし。

答は　�@ 2≦x<3　と �A 1<x≦2　をあわせて　1<x<3 です。

（２）も同様に　�@x≧1/2のとき　�A-1/2≦x≦1/2 のとき �B x≦-1/2
　　の３つの場合分けで解いてみましょう。
　答は　-2≦x≦0，x≧2　です。

どうもありがとうございました！
とてもよくわかりました。