「平面ベクトル」に関する質問と回答
AB↑＝０↑のとき、|ＡＢ↑|=0なのは自明ですが、 ０↑＝０なのでしょうか？ たとえば、AB↑＋ＤＯ↑＝３ＶＵ↑のとき、ＤＯ↑＝３ＶＵ↑と 表記してもかまわないのでしょうか？
ななさんこんばんは。 ＞AB↑＝０↑のとき、|ＡＢ↑|=0なのは自明ですが、０↑＝０なのでしょうか？ まずいですね。 ０↑＝０ 左辺はベクトル量です（つまり大きさと向きを考える量）。一方右辺はスカラー量です（大きさだけを考える量）。 ベクトルは，向きと大きさを考えるんです。考えるというところがみそです。 左では向きを考えて，右では考えないではおかしいですね？ なのでまずいです。 ＞AB↑＋ＤＯ↑＝３ＶＵ↑のとき、ＤＯ↑＝３ＶＵ↑と表記してもかまわないのでしょうか？ AB↑=0↑ですよね？ それならこれは構いません。
○ 零ベクトル… 大きさが０のベクトル、向きは定めない。 と、教科書にはあるかと思います。 向きは、定めないだけで、持たないという意味ではありません。 ベクトル量の一つとして、力がありますが、ある物体に働いている力がつりあった場合、物体は動きませんね。 物体は、どこかの方向に動きたいんだけれども、大きさが０だから動けない。 とでもいう状況をイメージしてください。
平面の3点O(0,0),A(63,0),B(15,20)に対し三角形OABの次の点の座標を求めよ。 という問題の内心についてなのですが、角の2等分線の交点の座標を普通は 求めるものだと思うのですが、三角形ABCとすると OI={aOA+bOB+cOC}/(a+b+c) OI､OA､OB､OCはベクトルです。 (解っていただけるでしょうか) という簡単な式で求まることを聞いたのですが、この式の意味が わかりません。どういうことか教えていただけないでしょうか？ ベクトルの中のなんという分野でしょうか？ いろいろとお尋ねして申し訳ありません。
nanaさん、数学頑張ってますね！ 夏休みよりも、夏休みを迎えるまでの今の勉強が大事なんです。 お尋ねの内心の位置ベクトルの公式ですが、センター試験などの客観テストでは知っておくとお得です。記述の場合はそれを証明させる問題になると思います。 三角形ＡＢＣにおいて、AB=C ,BC=a , CA=b とします。 ∠Aの２等分線とBCの交点をＰ、∠Ｂの２等分線とＣＡの交点をＱ、内心をＩとします。 角の２等分線の性質から、BP:PC=c:b ですね。ゆえに AP=frac{b}{b+c}AB+frac{c}{b+c}AC です。AP,AB,AC はベクトルです。 A,I,P は一直線上にあるので、 AI=kAP=frac{bk}{b+c}AB+frac{ck}{b+c}AC ･･･① また、AQ:QC=c:a より AQ=frac{c}{c+a}AC BI:IQ=t:1-t とすると AI=(1-t)AB+tAQ=(1-t)AB+frac{ct}{c+a}AC ･･･② ①②より frac{bk}{b+c}=(1-t) ･･･③ frac{ck}{b+c}=frac{ct}{c+a} ･･･④ ③④を解くと t=frac{c+a}{a+b+c} 、 k=frac{b+c}{a+b+c} になるはずです。 これらを①または②に代入することで、 AI=frac{bAB+cAC}{a+b+c} が得られます。 位置ベクトルの原点をＯとすれば、 OI-OA=frac{b(OB-OA)}{a+b+c}+frac{c(OC-OA)}{a+b+c} これを変形すると、内心の位置ベクトルの公式 OI=frac{aOA+bOB+cOC}{a+b+c} が得られます。 計算がハードかもしれませんが、自力で導いてみましょう。
証明していただき本当にありがとうございます。 公式を覚えておけばセンターで出た時には使えるんですね。 青チャートでベクトルの範囲を勉強したら自力で導いてみようと思います。 これからもよろしくお願いいたします。
OA=3 , OB=4 であるΔOABの辺OBの中点をM、辺ABを1:3に内分する点をDとし、 線分OD、AMの交点をPとする。また、↑OA=↑a,↑OB=↑bとする。 このとき、 ↑OD=(ア)/(イ)↑a+(ウ)/(エ)↑bである。 次に、直線AM上の点をQとし、↑OQ=s↑a+t↑b(s,tは実数)とすると、 sとtとの間には関係式s+(オ)t=(カ)が成り立つ。 ここで、点Pは直線ODと直線AMの交点であるから、 ↑OP=(キ)/(ク)↑a+(ケ)/(コ)↑bとなる。 また、線分OPの長さが11/5のとき、cos∠AOB=(サ)/(シ)である。 ↑OD=3/4↑a+1/4↑bはわかったんですが・・・ それ以降がわかりません(-_-;) sとtとの間の関係式～という点が分かればあとは自分で出来ると思うんですが どうも感覚的に理解出来ていません（汗 あ、ちなみにこの問題は進研のセンター試験重要問題演習の104番の問題です。 どうかアドバイスお願いします・・・m(__)m
もし，直線AB上の点をx↑a+y↑bの形で表したら，x+y=1になるのはわかりますか？内分点の公式，外分点の公式から考えてみましょう． s,tの関係式は，これの応用ですよ．
センター形式ではなく、記述形式であった場合なら解けますか？ つまり、 OA=3,OB=4であるΔOABの辺OBの中点をM、辺ABを1:3に内分する点をDとし、 線分OD、AMの交点をPとする。また、vec{OA}=vec{a},vec{OB}=vec{b}とする。 このとき、vec{OP}を、vec{a} と vec{b} で表せ。 という問題はどうですか？ この問題は教科書レベルです。 いわゆる『交点の位置ベクトル』と呼ばれる問題で、 t:1-t、s:1-s とおく例の問題なんですがどうでしょう？ 一応、解法を書いておきます。 vec{m}=(1/2)bec{b}、vec{d}=(3vec{a}+vec{b})/4 AP:PM＝k:1-k とすると、 vec{p}=(1-k)・vec{a}+k・vec{m}=(1-k)・vec{a}+(k/2)・vec{b} …① OP:PD=m:1-m とすると、 vec{p}=m・vec{d}=(3m/4)vec{a}+(m/4)vec{b} …② ①、②より、 1-k=3m/4 k/2=m/4 これらを解いて、m=4/5 、k=2/5 ①または②に代入することで、vec{p}=(3/5)vec{a}+(1/5)vec{b} ○ もしもこの時期に、①②の式がよく解らないということであれば、 相当まずいです。再度ご質問を！ 本来の問題の（オ）（カ）ですが、 vec{q}=(1-k)・vec{a}+k・vec{m}=(1-k)・vec{a}+(k/2)・vec{b} …① と、vec{q}=s・vec{a}+t・vec{b} の比較から、 1-k=s 、(k/2)=t この２式から、k を消去します。
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