【基本問題】
（ベクトル）
四角形ＡＢＣＤは半径１の円に内接し、
ＡＣ↑・ＢＤ↑＝０
ＡＢ↑＋ＡＤ↑＋２（ＣＢ↑＋ＣＤ↑）＝０↑
を満たしている。このとき次の問に答えよ。
（１）直線ＡＣは線分ＢＤの中点を通ることを示せ。
解答：
線分ＢＤの中点をＭとし
点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｍの点Ａに対する位置ベクトルをそれぞれ
ｂ↑、ｃ↑、ｄ↑、ｍ↑とすると
ＡＢ↑＋ＡＤ↑＋２（ＣＢ↑＋ＣＤ↑）＝０↑より
ｂ↑＋ｄ↑＋２（ｂ↑−ｃ↑＋ｄ↑−ｃ↑）＝０↑
ｃ↑＝3/4（ｂ↑＋ｄ↑）
一方 ｍ↑＝1/2（ｂ↑＋ｄ↑）
よって ｃ↑＝3/2 ｍ↑
つまり ＡＣ↑＝3/2 ＡＭ↑
だから、直線ＡＣは線分ＢＤの中点を通る
【標準問題】
（２）四角形ＡＢＣＤの４辺の長さを求めよ。 （2002年 千葉大）
解答：
ＡＣ↑・ＢＤ↑＝０（ＡＣ⊥ＢＤ）かつ 直線ＡＣは線分ＢＤの中点を通る
のでＡＣは直径である
ｃ↑＝3/2 ｍ↑より ｍ↑＝2/3 ｃ↑
よって |ｍ↑|＝2/3|ｃ↑|＝2/3*２＝4/3
また ∠Ｂ＝９０°（直径に対する円周角）であるから
△ＡＢＣ∽△ＡＭＢ ここで ＢＤ＝ｘとすると
ＡＣ：ＡＢ＝ＡＢ：ＡＭ
２：ｘ＝ｘ：4/3
ｘ^2＝8/3
ｘ＝2√6/3
△ＡＢＣにおいて三平方の定理より
ＢＣ＝√{２^2−（2√6/3）^2}＝2√3/3
∴ＡＢ＝ＡＤ＝2√6/3、 ＣＢ＝ＣＤ＝2√3/3
このほか別解多数あり
