【標準問題】
（微分）
正の定数ａに対し、log〔a〕(3x) + log〔√a〕(a-x) = 1を満たす実数ｘが
ちょうど２つある。このとき、ａはどのような範囲にあるか。
ただし、log〔a〕x はａを底とするｘの対数を表す。（改 2002年 広島大）
解答：
log〔a〕(3x) + log〔√a〕(a-x) = 1 より
真数条件 から ａ＞０，ａ−ｘ＞０ つまり ０＜ｘ＜ａ
log〔a〕(3x) (a-x)^2 = 1
3x (a-x)^2 = a
ここで f(x) = 3x(a-x)^2 とすると
f'(x) = 9 (x - a/3)(x - a) なので
０＜ｘ＜ａの範囲で 最大値 f(a/3) = 4/9 a^3 をとる
したがって
y = 3x(a-x)^2 と y = a が２つの交点をもつには
０＜ａ＜4/9 a^3
これを解いて
ａ＞3/2
