【標準問題】

（微分）

 

ｆ(x)＝ｘ^4＋ｘ^3−３ｘ^2 とおく。曲線ｙ＝ｆ(x)に点（０，ａ）から接線が
ただ１つ引けるとし、しかもその接線はただ１点でこの曲線に接するとする。こ
のときの定数ａの値を求めよ。　　　　　　　　　（2001年　大阪大）

 

 

 

解答：

 

ｆ(x)＝ｘ^4＋ｘ^3−３ｘ^2　より

f'(x)＝４ｘ^3＋３ｘ^2−６ｘ

接点のｘ座標をｔとすると

接線の方程式は

　ｙ＝(４t^3＋３t^2−６t)(ｘ−ｔ）＋ｔ^4＋ｔ^3−３ｔ^2
これが　点（０，ａ）を通るので

　ａ＝(４t^3＋３t^2−６t)(−ｔ）＋ｔ^4＋ｔ^3−３ｔ^2
　ａ＝−３ｔ^4−２ｔ^3＋３ｔ^2

 

ここで　ｇ(t)＝−３ｔ^4−２ｔ^3＋３ｔ^2　とおき

　　　　ｇ'(t)＝−６ｔ(ｔ＋１)(２ｔ−１)　より増減表を用いて

ｕ＝ｇ(t)　の図を描くと

図より　ｕ＝ｇ(t)、ｕ＝ａ　の２つのグラフがただ１つの共有点を持つには

ａ＝２である。